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Ein unentbehrlicher Begleiter für die Grundvorlesung in Mathematik, der auch während des gesamten Chemiestudiums gute Dienste bei allen mathematischen Fragen und Problemen leistet. Jetzt ergänzt um Dichtefunktionaltheorie und maschinelles Lernen.

 

Über den Autor

Ansgar Jüngel ist Professor für partielle Differentialgleichungen am Institut für Analysis und Scientific Computing der Technischen Universität Wien. In seiner Lehrtätigkeit widmet er sich vor allem der Anwendung von partiellen Differentialgleichungen in den Natur- und Wirtschaftswissenschaften. Er ist seit 2007 federführend für das Buch "Mathematik für Chemiker", welches von H.G. Zachmann begründet wurde und erstmals 1972 erschien.

 

 

Aus dem Inhalt:

Autorenverzeichnis XIII/ Vorwort zur achten Auflage XV/ / 1 Mathematische Grundlagen 1/ 1.1 Die Sprache der Mathematik 1/ 1.2 Mengenlehre 3/ 1.3 Zahlen 6/ 1.4 Einige Rechenregeln 12/ 1.5 Kombinatorik 15/ / 2 Lineare Algebra 23/ 2.1 Matrizen 23/ 2.2 Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 31/ 2.3 Determinanten 38/ 2.3.1 Definition 38/ 2.3.2 Rechenregeln 42/ 2.3.3 Berechnung von Determinanten 45/ 2.4 Lineare Unabhängigkeit und Rang einer Matrix 48/ 2.4.1 Lineare Unabhängigkeit 48/ 2.4.2 Rang einer Matrix 50/ 2.5 Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme 52/ 2.5.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 52/ 2.5.2 Berechnung der Inversen einer Matrix 57/ / 3 Unendliche Zahlenfolgen und Reihen 61/ 3.1 Unendliche Zahlenfolgen 61/ 3.1.1 Definitionen und Beispiele 61/ 3.1.2 Konvergenz einer Zahlenfolge 63/ 3.1.3 Das Rechnen mit Grenzwerten 65/ 3.2 Unendliche Reihen 69/ 3.2.1 Definitionen und Beispiele 69/ 3.2.2 Konvergenzkriterien 72/ 3.2.3 Das Rechnen mit unendlichen Reihen 75/ 3.2.4 Potenzreihen 77/ / 4 Funktionen 81/ 4.1 Erläuterung des Funktionsbegriffes 81/ 4.2 Funktionen einer Variablen 82/ 4.2.1 Darstellung 82/ 4.2.2 Umkehrung und implizite Darstellung einer Funktion 84/ 4.2.3 Wichtige Begriffe zur Charakterisierung von Funktionen 85/ 4.2.4 Einige spezielle Funktionen 87/ 4.2.5 Stetigkeit 98/ 4.2.6 Funktionenfolgen 100/ 4.3 Funktionen mehrerer Variablen 103/ 4.3.1 Darstellung 103/ 4.3.2 Definitionsbereiche 108/ 4.3.3 Stetigkeit 109/ / 5 Vektoralgebra 113/ 5.1 Rechnen mit Vektoren 113/ 5.1.1 Definition eines Vektors 113/ 5.1.2 Rechenregeln für Vektoren 116/ 5.1.3 Skalarprodukt 119/ 5.1.4 Vektorprodukt 121/ 5.1.5 Spatprodukt 124/ 5.2 Darstellung von Vektoren in verschiedenen Basen 127/ 5.2.1 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren 127/ 5.2.2 Basis im R3 und Basiswechsel 131/ 5.2.3 Orthonormalbasis 135/ / 6 Analytische Geometrie 139/ 6.1 Analytische Darstellung von Kurven und Flächen 139/ 6.1.1 Darstellung durch Gleichungen in ¿¿, ¿¿ und ¿¿ 139/ 6.1.2 Parameterdarstellung 148/ 6.2 Lineare Abbildungen 151/ 6.2.1 Definitionen 151/ 6.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 153/ 6.2.3 Drehungen und Spiegelungen 157/ 6.3 Koordinatentransformationen 164/ 6.3.1 Lineare Transformationen 164/ 6.3.2 Transformation auf krummlinige Koordinaten 171/ / 7 Differenziation und Integration einer Funktion einer Variablen 177/ 7.1 Differenziation 177/ 7.1.1 Die erste Ableitung einer Funktion 177/ 7.1.2 Rechenregeln für das Differenzieren 181/ 7.1.3 Differenziation einiger Funktionen 185/ 7.1.4 Differenziation komplexwertiger Funktionen 188/ 7.1.5 Höhere Ableitungen 193/ 7.1.6 Mittelwertsatz der Differenzialrechnung 194/ 7.1.7 Anwendungen 195/ 7.2 Integration von Funktionen 198/ 7.2.1 Das bestimmte Integral 198/ 7.2.2 Das unbestimmte Integral 204/ 7.2.3 Integrationsmethoden 208/ 7.2.4 Uneigentliche Integrale 217/ 7.2.5 Anwendungen 221/ 7.3 Differenziation und Integration von Funktionenfolgen 227/ 7.4 Die Taylor-Formel 230/ 7.5 Unbestimmte Ausdrücke: Regel von de l’Hospital 238/ 7.6 Kurvendiskussion 244/ 7.6.1 Definitionen 244/ 7.6.2 Bestimmung von Nullstellen 245/ 7.6.3 Bestimmung von Extrema 248/ 7.6.4 Bestimmung von Wendepunkten und Sattelpunkten 250/ / 8 Differenziation und Integration von Funktionen mehrerer Variablen 253/ 8.1 Differenziation 253/ 8.1.1 Die partielle Ableitung 253/ 8.1.2 Höhere Ableitungen und der Satz von Schwarz 257/ 8.1.3 Existenz einer Tangentialebene 259/ 8.1.4 Das totale Differenzial 261/ 8.1.5 Die Kettenregel 263/ 8.1.6 Differenziation impliziter Funktionen 266/ 8.1.7 Partielle Ableitungen in der Thermodynamik 269/ 8.2 Einfache Integrale 273/ 8.3 Bereichsintegrale 277/ 8.3.1 Definition des zweidimensionalen Bereichsintegrals 277/ 8.3.2 Berechnung des zweidimensionalen Bereichsintegrals 279/ 8.3.3 Allgemeine Bereichsintegrale 283/ 8.3.4 Transformationsformel 284/ 8.3.5 Berechnung von Volumina und Oberflächen 291/ 8.4 Kurvenintegrale 300/ 8.4.1 Definition und Berechnung 300/ 8.4.2 Wegunabhängigkeit des allgemeinen Kurvenintegrals 305/ 8.4.3 Vollständiges und unvollständiges Differenzial 308/ 8.4.4 Satz von Gauß im R2 311/ 8.5 Oberflächenintegrale 314/ 8.6 Die Taylor-Formel 317/ 8.7 Extremwerte 321/ 8.7.1 Definitionen 321/ 8.7.2 Bestimmung von Extremwerten und Sattelpunkten 322/ 8.7.3 Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen 325/ / 9 Vektoranalysis und Tensorrechnung 333/ 9.1 Vektoranalysis 333/ 9.1.1 Vektor- und Skalarfelder 333/ 9.1.2 Der Gradient 335/ 9.1.3 Konservative Vektorfelder 338/ 9.1.4 Die Divergenz und der Satz von Gauß im R3 340/ 9.1.5 Die Rotation und der Satz von Stokes 343/ 9.1.6 Rechenregeln 347/ 9.1.7 Krummlinige Koordinaten 348/ 9.2 Tensorrechnung 354/ 9.2.1 Tensoren zweiter Stufe 354/ 9.2.2 Tensoren höherer Stufe 357/ / 10 Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 361/ 10.1 Fourier-Reihen 361/ 10.1.1 Reelle Fourier-Reihen 361/ 10.1.2 Komplexe Fourier-Reihen 367/ 10.1.3 Fourier-Reihe einer Funktion in mehreren Variablen 370/ 10.2 Fourier-Transformation 373/ 10.2.1 Definitionen 373/ 10.2.2 Beispiele 377/ 10.2.3 Eigenschaften 381/ 10.2.4 Anwendungen in der Chemie 392/ 10.3 Orthonormalsysteme 399/ / 11 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 405/ 11.1 Beispiele und Definitionen 405/ 11.2 Differenzialgleichungen erster Ordnung 412/ 11.2.1 Richtungsfeld, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 412/ 11.2.2 Trennung der Variablen 415/ 11.2.3 Lineare Differenzialgleichungen 417/ 11.2.4 Systeme homogener linearer Differenzialgleichungen 421/ 11.2.5 Systeme inhomogener linearer Differenzialgleichungen 430/ 11.2.6 Exakte Differenzialgleichungen 433/ 11.3 Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung 439/ 11.3.1 Allgemeines über die Existenz von Lösungen 439/ 11.3.2 Die ungedämpfte freie Schwingung 443/ 11.3.3 Die gedämpfte freie Schwingung 448/ 11.3.4 Die erzwungene Schwingung 451/ 11.3.5 Systeme von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 454/ 11.4 Spezielle lineare Differenzialgleichungen zweiter Ordnung 460/ 11.4.1 Potenzreihenansatz 460/ 11.4.2 Die Legendre-Differenzialgleichung 464/ 11.4.3 Die Laguerre-Differenzialgleichung 470/ 11.4.4 Die Bessel-Differenzialgleichung 473/ / 12 Partielle Differenzialgleichungen 479/ 12.1 Definition und Beispiele 479/ 12.2 Die Potenzialgleichung 483/ 12.2.1 Lösung durch Fourier-Transformation 483/ 12.2.2 Lösung durch Fourier-Reihenansatz 484/ 12.2.3 Lösung in Polarkoordinaten 487/ 12.3 Die Wärmeleitungsgleichung 489/ 12.3.1 Lösung durch Fourier-Transformation 489/ 12.3.2 Lösung durch Separationsansatz 491/ 12.4 Die Wellengleichung 493/ 12.4.1 Lösung durch Separationsansatz 493/ 12.4.2 Allgemeine Lösungsformel 496/ 12.4.3 Die schwingende Membran 498/ 12.5 Die Schrödinger-Gleichung 503/ 12.5.1 Die stationäre Gleichung 503/ 12.5.2 Der harmonische Oszillator 504/ 12.5.3 Das Wasserstoffatom 507/ / 13 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik 519/ 13.1 Einführung 519/ 13.1.1 Quantenmechanische Begriffe 519/ 13.1.2 Axiomatik der Quantenmechanik 523/ 13.2 Hilbert-Räume 526/ 13.2.1 Sobolev-Räume 526/ 13.2.2 Vollständige Orthonormalsysteme 531/ 13.2.3 Lineare Operatoren 535/ 13.2.4 Dualräume und Dirac-Notation 536/ 13.3 Beschränkte lineare Operatoren 541/ 13.3.1 Definition und Beispiele 541/ 13.3.2 Projektoren 544/ 13.3.3 Symmetrische Operatoren 546/ 13.4 Unbeschränkte lineare Operatoren 554/ 13.4.1 Selbstadjungierte Operatoren 554/ 13.4.2 Die heisenbergsche Unschärferelation 559/ 13.4.3 Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren 561/ 13.5 Zeitentwicklung quantenmechanischer Systeme 570/ / 14 Wahrscheinlichkeitsrechnung 575/ 14.1 Einleitung 575/ 14.1.1 Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung 575/ 14.1.2 Der Ereignisraum 576/ 14.1.3 Zufallsgrößen 578/ 14.2 Diskrete Zufallsgrößen 580/ 14.2.1 Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit 580/ 14.2.2 Summe von Ereignissen 581/ 14.2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 584/ 14.2.4 Produkt von Ereignissen 586/ 14.2.5 Totale Wahrscheinlichkeit 587/ 14.3 Kontinuierliche Zufallsgrößen 590/ 14.3.1 Wahrscheinlichkeitsdichte 590/ 14.3.2 Verteilungsfunktion 592/ 14.4 Kette von unabhängigen Versuchen 598/ 14.4.1 Herleitung der exakten Gleichungen 598/ 14.4.2 Diskussion der Funktion ¿¿¿¿ (¿¿) 600/ 14.4.3 Näherungsgesetze für große ¿¿ 602/ 14.4.4 Markowsche Ketten 607/ 14.5 Stochastische Prozesse 614/ 14.5.1 Definitionen 614/ 14.5.2 Der Poisson-Prozess 615/ / 15 Fehler- und Ausgleichsrechnung 619/ 15.1 Zufällige und systematische Fehler 619/ 15.2 Mittelwert und Fehler der Einzelmessungen 620/ 15.2.1 Verteilung der Messwerte und Mittelwert 620/ 15.2.2 Mittlerer Fehler der Einzelmessungen 621/ 15.2.3 Wahrscheinlicher Fehler der Einzelmessung 623/ 15.2.4 Praktische Durchführung der Rechnungen 624/ 15.3 Fehlerfortpflanzung 626/ 15.3.1 Maximaler Fehler 626/ 15.3.2 Fortpflanzung des mittleren Fehlers 628/ 15.3.3 Mittlerer Fehler des Mittelwertes 630/ / 16 Numerische Methoden 633/ 16.1 Lineare Gleichungssysteme 633/ 16.1.1 Gauß-Algorithmus 633/ 16.1.2 Thomas-Algorithmus 637/ 16.1.3 Iterative Lösungsmethoden 639/ 16.1.4 Ausgleichsrechnung 642/ 16.2 Nichtlineare Gleichungen 645/ 16.2.1 Newton-Verfahren im Eindimensionalen 645/ 16.2.2 Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen 646/ 16.3 Eigenwertprobleme 650/ 16.3.1 Potenzmethode 650/ 16.3.2 QR-Verfahren 652/ 16.4 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 655/ 16.4.1 Euler-Verfahren 655/ 16.4.2 Runge-Kutta-Verfahren 659/ 16.4.3 Steife Differenzialgleichungen 661/ 16.5 Computational Chemistry 664/ 16.5.1 Dichtefunktionaltheorie 664/ 16.5.2 Maschinenlernen 670/ 16.5.3 Softwarepakete 677/ / Antworten und Lösungen 679/ Literatur 729/ Weiterführende Literatur 731/ Stichwortverzeichnis 735