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Namhafte Wissenschaftler von 5 Universitäten beschreiben den Ursprung, die Geschichte und die Entwicklung der Algebra bis hin zur modernen Computeralgebra.

 

 

 

Die Entstehung, Entwicklung und Wandlung der Algebra als Teil unserer Kulturgeschichte beschreiben Wissenschaftler von fünf Universitäten. Ursprünge, Anstöße und die Entwicklung algebraischer Begriffe und Methoden werden in enger Verflechtung mit historischen Ereignissen und menschlichen Schicksalen dargestellt. Ein erster Spannungsbogen reicht von den Frühformen des Rechnens mit natürlichen Zahlen und Brüchen zur Lösung einfacher Gleichungen bis hin zur Lösung von Gleichungen dritten und vierten Grades in der Renaissance. Von den misslungenen Versuchen zur Lösung allgemeiner Gleichungen höheren Grades im 17 Jh. zieht sich ein weiterer Bogen zu den berühmten Beweisen des Fundamentalsatzes der Algebra durch Gauß und den genialen Ideen des jungen Galois. Die Wandlung der Algebra von der Gleichungslehre zur Theorie algebraischer Strukturen wird danach ebenso beschrieben, wie die völlig neuen Akzente, die die Computeralgebra in neuester Zeit gesetzt hat. Viele neue farbige Abbildungen bereichern die inhaltlichen Aktualisierungen und Textergänzungen.

 

Aus dem Inhalt:

1 Anfange von Arithmetik und Algebra 1 / 1.1 Zählen. Zahlen und Rechnen am Beginn 2 / 1.2 Arithmetik und Algebra im alten Ägypten 6 / 1.2.0 Abriss der kulturgeschichtlichen Entwicklung im Niltal 8 / 1.2.1 Altägyptische Zahlzeichen 12 / 1.2.2 Arithmetik im alten Ägypten 13 / 1.2.3 Primitive Algebra 16 / 1.3 Mesopotamische (Babylonische) Algebra 21 / 1.3.0 Entwicklung früher Hochkulturen in Mesopotamien 22 / 1.3.1 Zahlzeichen in Keilschrift 28 / 1.3.2 Die Methode des einfachen falschen Ansatzes 30 / 1.3.3 Lineare Gleichungssysteme 32 / 1.3.4 Nichtlineare Systeme und quadratische Gleichungen 35 / 1.3.5 Kubische Gleichungen: Der Beginn eines 3500 Jahre alten Problems 39 / 1.3.6 Näherungswerte von y/2 40 / 1.4 Aufgaben zu Kapitel 1 45 // 2 Die geometrische Algebra der Griechen 47 / 2.0 Einführung 50 / 2.1 Beginn des abstrakten Denkens 52 / 2.1.1 Ionische Periode (ca. 600-450 v. Chr.) 53 / 2.1.2 Athenische Periode (450-300 v. Chr. ) 55 / 2.1.3 Hellenistische Periode (ca. 300 v. Chr.-ca. 150 n. Chr.) 59 / 2.1.4 Spätantike (ca. 150- ca. 500 n. Chr. ) 63 / 2.2 Das besondere Merkmal der griechischen Algebra 65 / 2.3 Lineare und quadratische Gleichungen 67 / 2.3.1 Die Elemente" des Euklid 67 / 2.3.2 Die Methode der Flächenanlegung 71 / 2.3.3 Lineare Gleichungen 73 / 2.3.4 Rein quadratische Gleichungen 74 / 2.3.5 Ein Diorismos 75 / 2.3.6 Lösung quadratischer Gleichungen nach Euklid 78 / 2.4 Kubische und biquadratische Gleichungen 80 / 2.4.1 Kubische Gleichungen in Kugel und Zylinder" von Archimedes 80 / 2.4.2 Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks durch "Einschiebung" von Archimedes 85. / 2.4.3 Dreiteilung des Winkels nach Archimedes 89 / 2.4.4 Archimedes und die biquadratischen Gleichungen 90 / 2.4.5 Das Delische Problem - die Würfelverdopplung 91 / 2.5 Die Quadratur des Kreises mittels der Quadratrix 96 / 2.6 "Formale Algebra" 100 / 2.6.1 Formale Algebra vor Diophant 100 / 2.6.2 Synkopierte Algebra 101 / 2.6.3 "Arithmetika" von Diophant 103 / 2.7 Aufgaben zu Kapitel 2 109 // 3 Algebra im Orient 111 / 3.1 Algebra in China 112 / 3.1.0 Geschichtlicher Abriss 113 / 3.1.1 Zahlzeichen 123 / 3.1.2 Quadrat- und Kubikwurzeln 125 / 3.1.3 Der doppelte falsche Ansatz (Uberschuss und Fehlbetrag) 127 / 3.1.4 Lineare Gleichungssysteme 128 / 3.1.5 Algebra im 13. Jahrhundert 130 / 3.2 Algebra in Indien 135 / 3.2.0 Geschichtlicher Abriss 137 / 3.2.1 Zahlzeichen und das dezimale Stellenwertsystem 141 / 3.2.2 Algebraische Ausdrucksweise 144 / 3.2.3 Näherungsverfahren für Wurzeln 145 / 3.2.4 Lineare Gleichungen 146 / 3.2.5 Quadratische Gleichungen 148 / 3.3 Algebra in den Ländern des Islam 153 / 3.3.0 Geschichtlicher Abriss 155 / 3.3.1 Die Verbreitung der indischen Ziffern in den islamischen Ländern 169 / 3.3.2 Algebraische Ausdrucksweise 171 / 3.3.3 Lineare und unbestimmte Gleichungen 174 / 3.3.4 Quadratische Gleichungen 175 / 3.3.5 Arithmetisierung der Algebra 182 / 3.3.6 Die (geometrische) Theorie von cUmar Hayyäm für die Gleichungen dritten Grades 184 / 3.3.7 Eine Abhandlung von Hayyäm über Algebra 190 / 3.3.8 Gleichungen vierten Grades 193 / 3.3.9 Numerische Auflösung algebraischer Gleichungen 194 / 3.4 Aufgaben zu Kapitel 3 203 // 4 Algebra im Europa des Mittelalters und der Renaissance 207 / 4.0 Einführung 209 / 4.1 Übersetzungen aus dem Arabischen 216 / 4.2 Leonardo von Pisa 217 / 4.3 Jordanus Nemorarius und Johannes de Muris 222 / 4.4 Die Entwicklung in Italien 226 / 4.4.1 Luca Pacioli 231 / 4. 4.5 Entwicklungen in Westeuropa 233 / 4.5.1 Nicolas Chuquet 233 / 4.5.2 Robert Recorde 234 / 4.5.3 Simon Stevin 236 / 4.5.4 Pedro Nunes 238 / 4.6 Frühe Algebra im deutschsprachigen Raum - die Deutsche Coß 241 / 4.6.1 Die sog. Deutsche Coß 243 / 4.6.2 Adam Ries. Abraham Ries u. Jacob Ries als Cossisten 248 / 4.6.3 Chistoph Rudolff und Michael Stifel 254 / 4.7 Zur Entwicklung des Zahlbegriffes 257 / 4.8 Aufgaben 261 // 5 Algebra wird zur selbständigen Disziplin (16.-18. Jh.) 265 / 5.0 Historische Einführung 267 / 5.1 Gleichungen dritten und vierten Grades 270 / 5.1.1 Lösungen für Gleichungen dritten Grades 270 / 5.1.2 Niccolö Tartaglia 272 / 5.1.3 Girolamo Cardano 275 / 5.1.4 Auflösung von Gleichungen vierten Grades 279 / 5.1.5 Rafaelo Bombelli 280 / 5.2 Viete und Descartes 284 / 5.2.1 Frangois Viete (Franciscus Vieta) 284 / 5.2.2 Rene Descartes (Cartesius) 292 / 5.2.3 Die algebraischen Methoden von Descartes 294 / 5.3 Newton und Euler 301 / 5.3.1 Isaac Newton 301 / 5.3.2 Zur Vorgeschichte des Fundamentalsatzes der Algebra 303 / 5.3.3 Leonhard Euler und der Fundamentalsatz der Algebra 305 / 5.3.4 Euler und sein Algebralehrbuch 309 / 5.4 Aufgaben 315 // 6 Algebra in der 2. Hälfte des 18. und am Beginn des 19. Jahrhunderts 319 / 6.0 Historische Einführung 321 / 6.1 Die Begründung des Rechnens in gewöhnlichen Zahlbereichen 324 / 6.2 Die Begründung der komplexen Zahlen 329 / 6.3 Algebra als Methode 334 / 6.4 Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung n-ten Grades in Radikalen 340 / 6.4.1 Die Ergebnisse von Lagrange 342 / 6.4.2 Die Lösungsansätze von Vandermonde und Waring 345 / 6.4.3 Ruffini und erste Ergebnisse über Permutationsgruppen 347 / 6.4.4 Gauß und die Auflösung der Kreisteilungsgleichung 349 / 6.4.5 Abels Beweis für die Nichtauflösbarkeit der allgemeinen Gleichung 5. Grades 352 / 6.5 Zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra durch Gauß 355 / 6.6 Die Herausforderung der Algebra durch neue Objektbereiche 360 / 6.6.1 Determinanten 360 / 6.6.2 Einfluss der "Disquisitiones arithmeticae" von Gauß 366 / 6.7 Aufgaben zu Kapitel 6 371 // 7 Die Herausbildung erster Strukturbegriffe 373 / 7.0 Vorbemerkungen 375 / 7.1 Die Auflösbarkeit algebraischer Gleichungen - Galois-Theorie 377 / 7.1.1 Der Beitrag von Niels Henrik Abel 377 / 7.1.2 Die Lösung des Problems durch Evariste Galois 381 / 7.2 Von Permutationen zu Permutationsgruppen 389 / 7.3 Auf dem Weg zur abstrakten Algebra 394 / 7.3.1 George Peacock 397 / 7.3.2 Augustus de Morgan 399 / 7.3.3 Duncan Farquharson Gregory 402 / 7.3.4 George Boole und die Algebra der Logik 404 / 7.4 Erste Definitionen abstrakter algebraischer Systeme 408 / 7.4.1 William Rowan Hamilton und die Quaternionen 408 / 7.4.2 Arthur Cayley - Oktonionen und die erste Definition des abstrakten Gruppenbegriffs 417 / 7.5 Zahlentheoretische Einflüsse auf die Entwicklung der Algebra 422 / 7.5.1 Gaußsche ganze Zahlen und Reziprozitätsgesetze 422 / 7.5.2 Kummers Schöpfung der idealen Zahlen 428 / 7.6 Die Fortschritte in der linearen Algebra 432 / 7.6.1 Die Entwicklung des Matrizenkalküls 436 / 7.6.2 Die Entwicklung der Theorie der Vektorräume 442 / 7.6.3 Die Arbeiten von Hermann Günther Graßmann 446 / 7.7 Aufgaben zu Kapitel 7 457 // 8 Die Entwicklungen der Algebra von 1850 bis 1880 463 / 8.0 Vorbemerkungen 465 / 8.1 Weitere Fortschritte im Verständnis der Galois-Theorie 470 / 8.1.1 Die Rezeption der Galois-Theorie in Deutschland 471 / 8.1.2 Die Darstellung der Galois-Theorie durch Joseph Alfred Serret und Camille Jordan 474 / 8.2 Die große Zeit der Invariantentheorie 483 / 8.2.1 Die britische Schule der Invariantentheorie 484 / 8.2.2 Die Weiterentwicklung und die Formulierung des Grundproblems der Invariantentheorie 487 / 8.3 Die Theorie der Transformationsgruppen 491 / 8.3.1 Kleins Erlanger Programm und die Theorie der endlichen Transformationsgruppen 491 / 8.3.2 Die Liesche Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen 498 / 8.4 Die ersten Strukturuntersuchungen bei hyperkomplexen Systemen 503 / 8.4.1 Hankels "Theorie der complexen Zahlensysteme" 504 / 8.4.2 Die Klassifikation der Algebren bei Benjamin Peirce 505 / 8.5 Aufgaben zu Kapitel 8 512 // 9 Algebra an der Wende zum 20. Jahrhundert 513 / 9.0 Historische Einführung 516 / 9.1 Mengenlehre und Algebra der Logik 520 / 9.1.1 Schröders Algebra der Logik und Freges Logizismus 523 / 9.1.2 Die axiomatische Methode 529 / 9.2 Die Herausbildung des abstrakten Gruppenbegriffs 533 / 9.3 Dedekind und Kronecker: Algebraische Zahlen, Ideale und Divisoren. Körper 548 / 9.4 Die axiomatische Fixierung des Körperbegriffs 559 / 9.5 Die Profilierung weiterer Teilgebiete der Algebra 572 / 9.5.1 Hyperkomplexe Systeme (Algebren) 572 / 9.5.2 Darstellungen von Gruppen und Algebren 583 / 9.5.3 Die algebraische Geometrie 588 / 9.6 Aufgaben zu Kapitel 9 594 // 10 Die Algebra im 20. Jahrhundert 599 / 10.0 Historische Einführung 603 / 10.1 Die Etablierung der modernen abstrakten Algebra 608 / 10.1.1 Aufbau einer allgemeinen Ring- und Idealtheorie 609 / 10.1.2 Moderne Algebra" 614 / 10.2 Von der Algebra zur Mathematik der Strukturen 621 / 10.2.1 Die Entstehung der Verbandstheorie 623 / 10.2.2 Bourbaki und Strukturkonzepte 629 / 10.3 Die Wechselwirkung der abstrakten Algebra 634 / 10.3.1 Die algebraische Geometrie 634 / 10.3.2 Anwendungen der Algebra in der Physik 639 / 10.3.3 Die algebraische Durchdringung der Topologie 642 / 10.3.4 Algebraische Methoden in anderen Bereichen 645 / 10.4 Computeralgebra 649 / 10.4.1 Vorbemerkungen 649 / 10.4.2 Charakterisierung der Computeralgebra 651 / 10.4.3 Die Entwicklung von Algorithmen 654 / 10.4.4 Die Entwicklung von Computeralgebrasystemen 662 / 10.4.5 Anwendungen der Computeralgebra, mathematische Bildung. Präsentation in der Gesellschaft 663 / 10.5 Computeralgebra im Jahre 2013 665 / 10.5.1 Algorithmen 666 / 10.5.1.1 Algorithmische Gruppentheorie 666 / 10.5.1.2 Algorithmische algebraische Zahlentheorie 668 / 10.5.2 Software Systeme 669 / 10.5.3 Anwendungen 669 / 10.5.3.1 Der Zauberwürfel 669 / 10.5.3.2 Die Nullstellen eines Polynoms 671 / 10.5.3.3 Kristallographische Gruppen 671 / 10.5.3.4 Robotik 674 / 10.5.3.5 Kryptographie 675 / 10.6 Aufgaben zu Kapitel 10 678 // Literaturverzeichnis 679 / Abbildungsverzeichnis 715 / Personenregister mit Lebensdaten 723 / Index 735