Diese Geschichte der Mathematik beschreibt die Irrungen und Wirrungen, die auch die logischste aller Wissenschaften benötigte, um sich weiter zu entwickeln. Der Aufbau des Bandes ist weniger personenbezogen als vielmehr an der Entwicklung elementarer mathematischer Begriffe wie Raum, Figur, Zahl, Gleichung, Grenzwert und Funktion orientiert, deren Geschichte dargestellt wird - von den Anfängen im vorchristlichen Babylon bis zum Beginn unseres Jahrhunderts. In einem einleitenden Kapitel stellen die Autorinnen, zwei renommierte Mathematikhistorikerinnen, den Werdegang der Mathematik in den Kontext kulturhistorischer Abläufe. Es folgen Kapitel über Griechenland und die Entstehung der deduktiven Mathematik, die Entwicklung der Geometrie und die Rolle der arabischen Mathematiker bei ihrer Überlieferung, die Wurzeln der Infinitesimalrechnung und über Analysis.
Ein eigenes Kapitel wird ferner den komplexen Zahlen und schließlich auch der Mathematik von Gauß und dem Beginn der modernen Zahlentheorie gewidmet.
Technische Aspekte und Definitionen sind in separate Kästen gefaßt, darüber hinaus erleichtern Kurzbiografien, Index und Literaturverzeichnisse dem Leser die Benutzung.
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Vorwort IX
Vorwort zur deutschen Ausgabe X
I. Die Mathematik im Zusammenhang der kulturhistorischen Entwicklung 1
1) Die ältesten Kulturen: Mesopotamien und Ägypten 1
2) Griechenland 7
3) Die arabische Kultur des frühen Mittelalters 11
4) Das frühe Mittelalter im christlichen Abendland 16
5) Die ersten Einflüsse der arabischen Mathematik 17
6) Die Allmacht der Kirche 18
7) Die großen Übersetzungen des 12. Jahrhunderts 19
8) Leonardo von Pisa (um 1170 - nach 1240) 20
9) Das Zeitalter der Scholastik 21
10) Das 15. Jahrhundert und die neuen Ziele der Wissenschaft 24
11) Die Ausbreitung der neuen Ideen: Die Erfindung des Buchdrucks im 15. Jahrhundert 25
12) Fortschritte in Arithmetik und Algebra 26
13) Die Reform der Astronomie: Nikolaus Kopernikus (1473 1543) 27
14) Die Keplerschen Gesetze und Galileo Galilei 28
15) Die Mathematisierung der Wissenschaft im 17. Jahrhundert 29
16) Das wissenschaftliche Leben im 17. Jahrhundert: Einrichtung und Rolle der Akademien der Wissenschaften 30
17) Das mathematische 18. Jahrhundert 31
18) Die Vorherrschaft der französischen Mathematik während der Revolution 33
19) Die neuen Bedingungen der mathematischen Arbeit im 19. Jahrhundert 34
II. Ein Moment der Rationalität: Griechenland 37
1) Die Entstehung des abstrakten Denkens bei den milesischen Naturphilosophen 37
2) Die ionische Mathematik: Thaies 39
3) Die Arithmetik der pythagoräischen Schule 40
4) Die Reaktion: Die Eleaten 44
5) Die Sophisten 44
6) Die Akademie Piatons 45
7) Aristoteles und das Lyzeum 48
8) Die Elemente des Euklid 49
9) Apollonios und die Kegelschnitte 58
10) Die Schule von Alexandria 62
III. Die Entstehung der klassischen Algebra 67
1) Lineare und quadratische Gleichungen in den frühen Kulturen 67
2) Die geometrische Algebra bei Euklid 71
3) Die Arithmetik des Diophant 72
4) Die arabische Mathematik 79
5) Al-Hwarizml und die Geburt des al-gabr 80
6) Abu Kamil: der erste Schüler 82
7) Die algebraisch-arithmetische Schule des al-Karagi 84
8) Die algebraisch-geometrische Schule und die Lösung der kubischen Gleichung 89
9) Numerische Lösungen und Approximationsverfahren von at-Tusi bis zu al-Kasi 93
10) Der Zahlbegriff 98
11) Die deutsche Coß 101
12) Die italienischen Renaissancealgebraiker 103
13) Der algebraische Symbolismus 107
14) Die Emanzipation der Algebra gegenüber der Geometrie 109
15) Fermat und die Wiedergeburt der Zahlentheorie 110
16) Die algebraische Auflösung von Gleichungen: Leerlauf und Fortschritte 113
17) Abel: Die Gleichung fünften Grades 118
Anhang zu Kapitel III: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 119
IV. Figuren, Räume und Geometrien 121
1) Anfänge in der Praxis 121
2) Beweisende Geometrie in Griechenland 123
3) Die Beiträge der Araber 126
4) Die Perspektive und die Entstehung der projektiven Geometrie 129
5) Die analytische Geometrie und das Studium von Kurven im 18. Jahrhundert 137
6) Die darstellende Geometrie: Gaspard Monge 139
7) Der Traite von Poncelet: Synthese und Manifest der projektiven Geometrie 141
8) Geometrische Transformationen 148
9) Die projektiven Koordinaten des Christian von Staudt 151
10) Analytische Formulierungen 153
11) Die nichteuklidischen Geometrien 155
12) Projektive Interpretation der metrischen Begriffe 164
13) Die projektive Natur der euklidischen Geometrie 165
14) Die Synthese: Das Erlanger Programm 168
15) Gesprengter Rahmen 172
V. Der Grenzwert: Vom Undenkbaren zum Begriff 175
1) Zahlen und geometrische Größen 175
2) Die Auffassung des Unendlichen in der griechischen Mathematik: Die Paradoxien des Zenon 175
3) Die Exhaustionsmethode: Negation des Unendlichen 177
4) Wiederaufnahme durch die Araber 182
5) Das Mittelalter 184
6) Die Befreiung: Stevin und Valerio 185
7) Die infinitesimalen Betrachtungen bei J. Kepler 185
8) Die Indivisibelnmethode 186
9) Die Entfaltung der infinitesimalen Methoden im 17. Jahrhundert 189
10) Die Entstehung der Infinitesimalrechnung 201
11) Flucht nach vorne 211
12) Grundlegungsversuche 212
13) Die Klärung der Grundbegriffe 218
14) Eine erste Integrationstheorie 219
15) Die Weierstraßsche Strenge 221
16) Die Konstruktion der reellen Zahlen 221
VI. Der Funktionsbegriff und die Entwicklung der Analysis 227
1) Das Zeitalter der Antike 227
2) Die Schulen von Oxford und Paris 228
3) Vom Studium der Bewegungen zur Untersuchung der Bewegungsbahnen 230
4) Das Beispiel der Logarithmusfunktion 231
5) Descartes: geometrische Kurven und algebraische Funktionen 234
6) Die unendlichen Algorithmen 235
7) Ein neuer mathematischer Gegenstand: das Gesetz der Veränderung 236
8) Die algebraische Analysis des 18. Jahrhunderts 238
9) Das Phänomen der mehrwertigen Funktionen 239
10) Die Introductio in analysin infinitorum von Euler 241
11) Die Gleichung der schwingenden Saite 244
12) Die Funktion als zentraler Gegenstand der Analysis 245
13) Das Ringen um die Grundbegriffe 247
14) Die Entwicklung von Funktionen in trigonometrische Reihen 248
15) Der Begriff der willkürlichen Funktion und seine Folgen 253
16) Die Reihendarstellung stetiger Funktionen und die gleichmäßige Konvergenz 254
17) Die Funktionentheorie 254
18) Die Anfänge der Mengenlehre und der allgemeinen Topologie 260
19) Die unstetigen Funktionen. Kontroversen um den Funktionsbegriff 265
20) Der maßtheoretische Gesichtspunkt 267
VII. Im Schnittpunkt von Algebra, Analysis und Geometrie - die komplexen Zahlen 271
1) Der Fundamentalsatz der Algebra 271
2) Wie man mit dem Symbol A/~T im 17. und 18. Jahrhundert umging 276
3) Die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen 277
4) Geometrischer Realismus versus algebraisch-symbolischer Formalismus 279
5) Der wirkliche Begründer der komplexen Zahlen 281
6) Die arithmetische Sichtweise Hamiltons 282
7) Die Kongruenzen und der algebraische Standpunkt Cauchys 285
VIII. Neue Objekte, neue Gesetze und die Entstehung der algebraischen Strukturen 287
1) Die Disquisitiones arithmeticae von Gauß 287
2) Permutationsgruppen und Galois-Theorie 295
3) Die englische Algebraikerschule 305
4) Lineare Strukturen 308
5) Die Entstehung der Gruppentheorie 315
6) Die deutsche Schule und die Anfänge der kommutativen Algebra 318
7) Das neue Gesicht der Mathematik 324
Anhang
Bibliographie 329
Abbildungsnachweis 335
Personenverzeichnis mit Kurzbiographien 336
Sachverzeichnis mit Glossar 348