Teil I: Analysis - ein Überblick 23
Teil II: Die Voraussetzungen für die Analysis 23
Teil III: Grenzwerte 23
Teil IV: Differentiation 24
Teil V: Integration und unendliche Reihen 24
Teil VI: Der Top-Ten-Teil 24
Symbole in diesem Buch 24
Wie es weitergeht 25
Teil I
Analysis - ein Überblick 27
Kapitel 1
Was ist Analysis* 29
Was Analysis nicht ist 29
Was also ist Analysis? 30
Beispiele für die Analysis aus der Praxis 32
Kapitel 2
Die beiden Wichtigen Konzepte der Analysis:
ùifferentiation und integration 35
Differentiation - Definition 35
Die Ableitung ist eine Steigung 35
Die Ableitung ist eine Änderungsrate 36
Und jetzt zur Integration 37
Unendliche Reihen 39
Divergierende Reihen 39
Konvergierende Reihen 39
Kapitel 3
Warum die Analysis funktioniert 43
Das Grenzwertkonzept: Ein mathematisches Mikroskop 43
Was passiert beim Vergrößern? 44
Zwei Warnungen - nur zur Vorsicht 47
Ich könnte meine Lizenz verlieren, Mathematik zu betreiben 47
Und was um alles in der Welt bedeutet "unendlich" eigentlich? 47
Teil II
Die Voraussetzungen für die Analysis 49
Kapitel 4
Überblick über Vor-Algebra und Algebra 51
Was Sie über Brüche wissen sollten 51
Ein paar schnelle Regeln 51
Brüche multiplizieren 52
Brüche dividieren 52
Brüche addieren 53
Brüche subtrahieren 54
Brüche kürzen 54
Absolutwert - absolut einfach 56
Potenzen machen stark 56
Zu den Wurzeln der Wurzeln 57
Wurzeln, Wurzeln überall! 58
Wurzeln vereinfachen 58
Logarithmen ... wirklich keine Hexerei 59
Faktorisieren - wer braucht das schon? 60
Den größten gemeinsamen Faktor herausziehen 60
Die Mustersuche 60
Ein bisschen trinomische Faktorisierung 61
Quadratische Gleichungen lösen 62
Methode 1: Faktorisieren 62
Methode 2: Die Quadratformel 62
Methode 3: Vervollständigung des Quadrats 64
Kapitel 5
(/errückte Funktionen und ihre Wunderbaren Graphen 05
Was ist eine Funktion? 65
Die definierende Eigenschaft einer Funktion 65
Unabhängige und abhängige Variablen 67
Funktionsnotation 68
Zusammengesetzte Funktionen 68
Wie sieht eine Funktion aus? 69
12
Inhaltsverzeichnis Î
Allgemeine Funktionen und ihre Graphen 72
Geradeheraus - Geraden in der Ebene 72
Parabel- und Absolutwertfunktionen - gerade heraus 76
Einige ungerade Funktionen 76
Exponentialfunktionen 76
Logarithmische Funktionen 77
Inverse Funktionen 78
Schieben, spiegeln, dehnen, stauchen 79
Horizontale Transformationen 79
Vertikale Transformationen 81
Kapitel 6
Trigonometrie ist Trumpf! 83
Trigonometrie im Crashkurs 83
Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke 84
Das 45°-45°-90°-Dreieck 84
Das 30°-60°-90°-Dreieck 85
Im Einheitskreis gefangen! 86
Winkel im Einheitskreis 87
Winkel mit Radianten messen 87
Liebling, ich habe die Hypotenuse geschrumpft! 89
Und jetzt das Ganze zusammen 90
Sinus, Kosinus und Tangens zeichnen 92
Inverse trigonometrische Funktionen 93
Identifikation mit trigonometrischen Identitäten 94
Teil III
Grenzwerte 95
Kapitel 7
Grenzwerte und Stetigkeit 97
Bis an die Grenzen - NEIN 97
Drei Funktionen erklären den Grenzwert 97
Weiter zu den einseitigen Grenzwerten 101
Die formale Definition eines Grenzwerts - wie erwartet! 102
Unendliche Grenzwerte und vertikale Asymptoten 102
Grenzwerte an der Unendlichkeit - haben Sie gute Schuhe an? 103
Die unmittelbare Geschwindigkeit berechnen - mit Hilfe von Grenzwerten 104
Grenzwerte und Stetigkeit verknüpfen 107
Stetigkeit und Grenzwerte gehen normalerweise Hand in Hand 108
Die Ausnahme für ein Loch bringt die Wahrheit ans Licht 108
Die überflüssige Mathematik der Stetigkeit aussortieren 110
Die 33333-Eselsbrücke für den Grenzwert 110
13
Analysis für Dummies
Kapitel 8
Grenzwerte auswerten 113
Einfache Grenzwerte 113
Grenzwerte, die Sie sich merken sollten 113
Einsetzen und Einkochen 114
Die "echten" Aufgabenstellungen mit Grenzwert 114
Einen Grenzwert mit dem Taschenrechner bestimmen 115
Aufgabenstellungen mit Grenzwert algebraisch Algebra lösen 117
Machen Sie eine Pause - mit einem Grenzwert-Sandwich 120
Grenzwerte bei unendlich auswerten 125
Grenzwerte bei unendlich und horizontale Asymptoten 126
Grenzwerte bei unendlich mit einem Taschenrechner lösen 127
Algebra für Grenzwerte bei unendlich verwenden 128
Teil IV
Differentiation 131
Kapitel 9
Differentiation - Orientierung 133
Differentiation: Sucht die Steigung! 134
Die Steigung einer Geraden 136
Die Ableitung einer Geraden 138
Die Ableitung: Einfach eine Änderungsrate 139
Analysis auf dem Spielplatz 139
Geschwindigkeit - die uns vertrauteste Änderungsrate 141
Die Beziehung zwischen Änderungsrate und Steigung 141
Die Ableitung einer Kurve 142
Der Differenzquotient 144
Durchschnittliche Änderungsrate und unmittelbare Änderungsrate 151
Sein oder nicht sein? Drei Fälle, in denen die Ableitung nicht existiert 152
Kapitel 10
Regeln für die Differentiation - Was sein muss, muss sein! 153
Grundlegende Regeln der Differentiation 154
Die Konstantenregel 154
Die Potenzregel 154
Die Regeln zu dem Vielfachen von Konstanten 155
Die Summenregel - und die kennen Sie schon 156
Die Differenzregel - macht kaum einen Unterschied 156
Trigonometrische Funktionen differenzieren 157
Exponentielle und logarithmische Funktionen differenzieren 157
Differentiationsregeln für Profis - Wir sind die Champs! 159
Die Produktregel 159
u
Inhaltsverzeichnis
Die Quotientenregel 159
Die Kettenregel 161
Implizite Differentiation 166
Logarithmische Differentiation - Der Rhythmus macht's 168
Inverse Funktionen differenzieren 169
Ableitungen höherer Ordnung skalieren 170
Kapitel 11
Differentiation und die Form Von Kurven 173
Ein Ausflug mit der Analysisgruppe 173
Über die Berge und durch die Täler: Positive und negative Steigungen 174
Mir fällt einfach keine Reisemetapher für diesen Abschnitt ein:
Krümmung und Wendepunkte 174
Das Tal der Tränen: Ein lokales Minimum 175
Ein atemberaubender Ausblick: Das absolute Maximum 175
Autopanne: Auf dem Scheitelpunkt hängen geblieben 175
Von nun an ging's bergab! 175
Ihr Reisetagebuch 176
Lokale Extremwerte finden 176
Die kritischen Werte herausleiern 177
Der Test der ersten Ableitung 178
Der Test der zweiten Ableitung - Tests, Tests, Tests! 180
Absolute Extremwerte für ein geschlossenes Intervall finden 183
Die absoluten Extremwerte über den gesamten Definitionsbereich
einer Funktion finden 186
Krümmung und Wendepunkte bestimmen 187
Die Graphen von Ableitungen - Bis zum Abwinken 190
Der Mittelwertsatz - Es bleibt einem nichts erspart! 193
Kapitel 12
Problemlos glücklich: Der Differentiation sei Dank! 197
Wie Sie das meiste aus Ihrem Leben machen: Optimierungsprobleme 197
Das maximale Volumen einer Schachtel 197
Die maximale Fläche eines Weidezauns berechnen - Cowboys unter sich! 199
Husch, husch: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung 202
Geschwindigkeit im Vergleich zur Schnelligkeit 204
Maximale und minimale Höhe 205
Geschwindigkeit und Abstand 206
Schnelligkeit und zurückgelegte Distanz 207
Gummigeruch und Bremsstreifen: Beschleunigung und Abbremsen 208
Und jetzt alles zusammen 209
(Relativ) verkettete Änderungsraten 210
Einen Ballon aufblasen 210
Einen Trog auffüllen 212
Schnallen Sie sich an: Wir nähern uns einer Analysiskreuzung 215
15
Analysis für Dummies
Tangenten und Normale: Auf die Spitze getrieben 217
Die Aufgabenstellung mit der Tangente 218
Das Normallinienproblem 220
Leichtes Spiel mit linearen Annäherungen 222
Aufgabenstellungen aus der Geschäftswelt und aus der Wirtschaft 226
Verwaltung von Grenzkosten in der Wirtschaft 226
Teil V
Integration und unendliche Reihen 233
Kapitel 13
Integration und Flächenannäherung - Ein Einstieg 235
Integration: Einfach eine seltsame Addition 235
Die Fläche unter einer Kurve bestimmen 237
Der Umgang mit negativen Flächen 240
Flächen annähern 240
Flächen mit Hilfe linker Summen annähern 240
Flächen mit Hilfe rechter Summen annähern 243
Flächen mit Mittelpunktsummen annähern 246
Die Summennotation 247
Die Grundlagen summieren 248
Riemann-Summen in Sigma-Notation 248
Exakte Flächen mit Hilfe des bestimmten Integrals ermitteln 251
Flächen annähern mit der Trapezregel und der Simpson-Regel 254
Die Trapezregel 255
Die Simpson-Regel - Thomas (1710-1761), nicht Homer (1987-) 257
Kapitel 14
Integration: Die Rückwärts-Differentiation 259
Stammfunktionen suchen - die umgekehrte Differentiation 259
Das Vokabular: Welchen Unterschied macht es? 261
Die müßige Flächenfunktion 261
Ruhm und Ehre mit dem Hauptsatz der Analysis 264
Der Hauptsatz der Analysis: Teil 2 267
Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 1 270
Warum der Hauptsatz funktioniert: Flächenfunktionen, Erklärung 2 272
Warum der Hauptsatz funktioniert: Die Verbindung zwischen Integration
und Differentiation 272
Stammfunktionen finden: Drei grundlegende Techniken 275
Umkehrregeln für Stammfunktionen 275
Raten und Prüfen 277
Die Substitutionsmethode 279
Flächen mit Hilfe von Substitutionsaufgaben bestimmen 282
16
o Inhaltsverzeichnis
Kapitel 15
Integrationstechniken für Profis 285
Teilweise (partielle) Integration: Teilen und Herrschen! 285
Das u auswählen 288
Teilweise Integration: Beim zweiten wie beim ersten Mal 290
Alles im Kreis! 291
Tricks mit Trig-Integralen 292
Integrale mit Sinus und Kosinus 293
Integrale mit Sekans und Tangens 296
Integrale mit Kosekans und Kotangens 298
Ihr schlimmster Alptraum: Trigonometrische Substitution 299
1. Fall: Tangens 300
2. Fall: Sinus 303
3. Fall: Sekans 304
A, B und C in Teilbrüchen (Partialbrüchen) 305
1. Fall: Der Nenner enthält nur lineare Faktoren 306
2. Fall: Der Nenner enthält nicht zu kürzende quadratische Faktoren 307
3. Fall: Der Nenner enthält wiederholte lineare oder quadratische Faktoren 308
Bonusrunde: Koeffizienten ähnlicher Terme gleichsetzen 309
Kapitel 16
Grau ist alte Theorie: Mit Integralen echte Probleme lösen 311
Der Mittelwertsatz für Integrale und der Durchschnittswert 312
Die Fläche zwischen zwei Kurven - Der doppelte Spaß 315
Die Volumen unregelmäßiger Körper ermitteln 318
Die Wurstscheibenmethode 318
Die Pfannkuchenstapelmethode 320
Die Stapel-Donuts-auf-den-sich-jemand-gesetzt-hat-Methode 322
Die Methode mit den russischen Püppchen 324
Bogenlängen analysieren 326
Drehoberflächen - Entstehen durch Drehen! 328
Die Regel von L'Hôpital: Analysis für die Kranken 331
Nicht akzeptable Formen in Form bringen 333
Drei weitere nicht akzeptable Formen 333
Uneigentliche Integrale: Am Verlauf zu erkennen 335
Uneigentliche Integrale mit vertikalen Asymptoten 335
Uneigentliche Integrale mit einer oder zwei
unendlichen Integrationsgrenzen 338
Und jetzt zu Gabriels Horn 340
Kapitel 17
Unendliche Reihen 343
Folgen und Reihen: Worum es eigentlich geht 343
Folgen aneinanderreihen 344
Reihen summieren 346
17
Analysis für Dummies
Konvergenz oder Divergenz? Das ist hier die Frage! 349
Der einfachste Test auf Divergenz: Die Prüfung auf den n-ten Term 349
Drei grundlegende Reihen und die zugehörigen Prüfungen auf
Konvergenz/Divergenz 350
Drei Vergleichstests für Konvergenz/Divergenz 353
Tests auf Quotienten und Wurzeln 359
Alternierende Reihen 362
Absolute oder bedingte Konvergenz bestimmen 362
Der Test mit den alternierenden Reihen 363
Nehmen Sie die Tests leicht 367
Teil VI
ber Top'Ten-Teil 369
Kamtel 18
Zehn Dinge, die Sie sich merken sollten 371
Den Platz, wo Ihre Sonnenbrille liegt 371
a2-b2 = (a-b)(a + b) 371
- = 0, aber - ist Undefiniert 371
Irgendetwas" = 1 371
SghKahTga 372
Trigonometrische Werte für 30-, 45- und 60-Grad-Winkel 372
sin20 + cos29 = 1 372
Die Produktregel 373
Die Quotientenregel 373
Wo Sie Ihre Schlüssel hingelegt haben 373
Kamtel 19
Zehn Dinge, die Sie Vergessen können 375
(a + b)2 = a2 + b2- Falsch! 375
>/ö2 + b2 =a + b- Falsch! 375
Steigung = ?*-£- - Falsch! 375
A .Falsch! 375
3a + c c
-7T3=3x2- Falsch! 376
dx
Wenn k eine Konstante ist, dann ist - kx = k'x + kx' - Falsch! 376
dx
Die Quotientenregel ist - [ - | = v u ~ m - Falsch! 376
dx \ v I v
18
Inhaltsverzeichnis
¡x2dx = -x3 -Falsch! 376
$(sinx)dx = cosx + C -Falsch! 376
Den Satz von Green 376
Kapitel 20
Zehn Dinge, mit denen Sie nicht durchkommen 377
Geben Sie für eine Prüfungsfrage zwei Lösungen an 377
Schreiben Sie in Prüfungen unleserlich 377
Zeigen Sie Ihren Lösungsweg in der Prüfung nicht auf 377
Lösen Sie nicht alle Prüfungsaufgaben 377
Machen Sie Ihren Nachhilfelehrer für Ihre schlechten Noten verantwortlich 378
Sagen Sie Ihrem Lehrer, dass Sie eine gute Note in Analysis brauchen,
um Ihre Flamme zu beeindrucken 378
Beschweren Sie sich, dass Prüfungen am frühen Morgen nicht fair sind,
weil Sie ein Morgenmuffel sind 378
Stellen Sie das gesamte Notensystem in Frage 378
Lösen Sie während der Prüfung den Feueralarm aus 378
Stichwortverzeichnis 379 // ---->