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Laplace-, Fourier- und z-Transformation
VerfasserIn: Föllinger, Otto
Verfasserangabe: Otto Föllinger. Bearb. von Mathias Kluwe
Jahr: 2007
Verlag: Heidelberg, Hüthig
Mediengruppe: Buch
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Inhalt
In anwendungsnaher Weise wird der Leser mit der Laplace-, Fourier- und z-Transformation vertraut gemacht. Ausgehend von konkreten Problemstellungen werden die erforderlichen Rechenregeln hergeleitet. Die notwendigen mathematischen Operationen werden anhand realer Gegebenheiten angewendet. Auf Grund dieses einzigartigen Konzepts wird dem Leser ein gewisses Verständnis der Methoden - das über die rezeptartige Anwendung von Rechenregeln hinausgeht - ermöglicht. Aufbauend auf einer Einführung in die Laplace-Transformation wird deren Anwendung auf gewöhnliche Differenzial-, Differenzen- und Differenzendifferenzialgleichungen gezeigt. Nach der Erarbeitung der Rechenregeln und Korrespondenzen folgt der Bezug auf das Übertragungsverhalten dynamischer Systeme. Über die Funktionentheorie, die komplexe Umkehrformel und die Anwendung auf partielle Differenzialgleichungen wird dann in die Fourier-Transformation eingeführt. Abtasttheorem, Hilbert- und z-Transformation beschließen die Darstellung. Zahlreiche Grafiken, Tabellen und Beispiele veranschaulichen und vertiefen den Stoff. 45 Übungsaufgaben mit ausführlicher Darstellung des Lösungsweges ermöglichen die Erprobung des gelernten Wissens. Damit wird dem zukünftigen Ingenieur und auch dem Praktiker quasi aller Branchen ein leistungsfähiges, unverzichtbares mathematisches Werkzeug an die Hand gegeben. Einzigartig behandelt dieses ausgereifte Lehrbuch alle drei Methoden der Transformation ohne Beschränkung auf elementare Anwendungen und macht die abstrakten Rechenregeln dabei verständlich.
 
/ AUS DEM INHALT: / / /
1 Einführung der Laplace-Transformation 1
 
2 Anwendung der Laplace-Transformation auf gewöhnliche
Differenzialgleichungen 13
2.1 Häufig auftretender Typ von Differenzialgleichungen 13
2.2 Differenziationsregel für die Originalfunktion 17
2.3 Rechnen mit 8-Funktionen 22
2.4 Laplace-Transformation einer linearen Differenzialgleichung n-ter
Ordnung mit konstanten Koeffizienten 28
2.5 Erinnerung an die Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen 31
2.6 Rücktransformation der Partialbrüche mittels Integrations- und
Dämpfungsregel der Laplace-Transformation 37
2.7 Lösung einer Differenzialgleichung 3. Ordnung 40
2.8 Sprungantwort einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung bei
einfachen und von Null verschiedenen Polen 43
2.9 Sprungantwort einer Differenzialgleichung n-ter Ordnung beim
Auftreten mehrfacher Pole 50
2.10 Sprungantwort einer Differenzialgleichung 2. Ordnung 51
2.11 Faltungsregel der Laplace-Transformation 58
2.12 Zusammenfassung über die Lösung der Differenzialgleichung n-ter
Ordnung 65
2.13 Grenzwertsätze der Laplace-Transformation und ihre Anwendung
auf Differenzialgleichungen 67
2.13.1 Endwertsatz 67
2.13.2 Anfangswertsatz 69
2.14 Systeme von Differenzialgleichungen 71
 
3 Lösung von Differenzengleichungen mit der Laplace-
Transformation 77
3.1 Auftreten und Form von Differenzengleichungen 77
3.2 Verschiebungsregeln der Laplace-Transformation 80
3.3 Lösung einer Differenzengleichung 1. Ordnung mit Vorgeschichte 83
3.4 Rücktransformation einer rationalen Funktion von c™ 84
3.5 Lösung der allgemeinen Differenzengleichung ohne Vorgeschichte 86
 
4 Lösung von Differenzendifferenzialgleichungen mit der Laplace-
Transformation 93
4.1 Auftreten von Differenzendifferenzialgleichungen: Totzeitsysteme 93
4.2 Bestimmung der Ausgangsgröße eines Totzeitsystems durch
Laplace-Transformation 98
 
5 Zusammenstellung von Rechenregeln und Korrespondenzen
der Laplace-Transforraation 103
 
6 Laplace-Transformation und Übertragungsverhalten
dynamischer Systeme 109
6.1 Allgemeiner Begriff des Übertragungsgliedes 109
6.2 Übertragungsfunktion 111
6.3 Gewichtsfunktion (Impulsantwort) 113
6.4 Charakterisierung der Übertragungsglieder mit Y(s) = G(s)U(s) 116
6.5 Frequenzgang 125
6.6 Zwei Aspekte der Laplace-Transformation 131
 
7 Etwas Funktionentheorie 133
7.1 Laurententwicklung 133
7.2 Residuum und Residuensatz 138
7.3 Laurententwicklung und Partialbruchzerlegung 143
7.4 Zwei Beispiele zur Partialbruchentwicklung einer meromorphen
Funktion 146
 
8 Komplexe Umkehrformel der Laplace-Transformation 151
8.1 Herleitung der komplexen Umkehrformel 151
8.2 Herleitung der Multiplikationsregel für Zeitfunktionen 157
8.3 Berechnung des Umkehrintegrals mittels des Residuensatzes 158
8.4 Berechnung der Originalfunktion zu e~ 163
 
9 Anwendung der Laplace-Transformation auf partielle
Differenzialgleichungen 171
9.1 Prinzipielles Vorgehen 171
9.2 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung
der Randbedingungen 177
9.3 Spezialfall: Randwertproblem beim einseitig begrenzten
Wärmeleiter 180
9.4 Eine andere Darstellung der Gewichtsfunktion 183
9.5 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung
der Quellenfunktion 185
9.6 Lösung der Wärmeleitungsgleichung unter alleiniger Einwirkung
der Anfangsbedingung und allgemeine Lösung 191
 
10 Zweiseitige Laplace-Transformation und Fourier-Transformation . 193
10.1 Zweiseitige Laplace-Transformation 193
10.2 Definition der Fourier-Transformation 196
10.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation 205
10.4 Rechenregeln der Fourier-Transformation 209
10.5 Korrespondenzen der Fourier-Transformation 215
10.6 Tabellen zur Fourier-Transformation 223
 
11 Fourier-Transformation von Funktionen endlicher Breite
und Abtasttheoreme 231
11.1 Komplexe Darstellung der Fourierreihe einer periodischen Funktion . . 2 3 1
11.2 Reihenentwicklung einer Zeitfunktion mit endlicher Bandbreite 234
11.3 Reihenentwicklung einer Spektraldichte zu einer Zeitfunktion
von endlicher Dauer 237
 
12 Fourier-Transformation kausaler Funktionen und Hilbert-
Transformation 239
 
13 z-Transformation 247
13.1 Definition der z-Transformation und ihr Zusammenhang mit der
Laplace-Transformation 247
13.2 Einige Beispiele 253
13.3 Durchführbarkeit der z-Transformation 256
13.4 Dämpfungsregel und Differenziationsregel für die Bildfunktion 258
13.5 Anwendung der Dämpfungsregel und der Differenziationsregel für
die Bildfunktion: z-Transformation rationaler Funktionen von s 262
13.6 Ein allgemeiner Zusammenhang zwischen F(s) und Fz(z) 266
13.7 Verschiebungsregeln der z-Transformation 268
13.8 Anwendung der Verschiebungsregeln der z-Transformation auf
Differenzengleichungen für Zahlenfolgen 270
13.9 Rücktransformation einer rationalen Funktion Gz(z) 273
13.10 Die Faltungsregel der z-Transformation 276
13.11 Grenzwertsätze der z-Transformation 280
13.12 Rücktransformation (Umkehrung der z-Transformation) 282
13.13 Anwendung der z-Transformation auf dynamische Systeme 289
13.14 Zusammenstellung von Rechenregeln und Korrespondenzen der
z-Transformation 299
 
Übungsaufgaben 303
 
Lösungen der Übungsaufgaben 327
Literaturverzeichnis 413
Sachwörterverzeichnis 417
Details
VerfasserIn: Föllinger, Otto
VerfasserInnenangabe: Otto Föllinger. Bearb. von Mathias Kluwe
Jahr: 2007
Verlag: Heidelberg, Hüthig
Systematik: NN.ML
ISBN: 978-3-7785-4022-0
2. ISBN: 3-7785-4022-X
Beschreibung: 9., überarb. Aufl., XIII, 424 S. : graph. Darst.
Beteiligte Personen: Kluwe, Mathias [Bearb.]
Mediengruppe: Buch