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1 von 75
Mathematisches Problemlösen und Beweisen
eine Entdeckungsreise in die Mathematik
VerfasserIn: Grieser, Daniel
Verfasserangabe: Daniel Grieser
Jahr: 2013
Verlag: Wiesbaden, Springer Spektrum
Mediengruppe: Buch
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 Vorbestellen Zweigstelle: 07., Urban-Loritz-Pl. 2a Standorte: NN.M Grie / College 6a - Naturwissenschaften Status: Verfügbar Frist: Vorbestellungen: 0
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Inhalt
Gründliche und verständliche Einführung in Methoden und ausgewählte Inhalte aus dem Anfang eines Mathematikstudiums als Brücke zwischen Schule und Hochschule.
 
 
 
Standen Sie schon einmal vor einem mathematischen Problem oder einer kniffeligen Knobelaufgabe und hatten keine Idee für einen Lösungsansatz? Oder die Ideen gingen Ihnen auf halber Strecke aus? Ist Kreativität erlernbar?
 
Hier setzt dieses Buch an: Der Autor bearbeitet Schritt für Schritt ausgewählte Probleme, die mit dem Schulwissen der Mittelstufe zu verstehen sind, und lädt Sie dabei zum Mitmachen ein. Davon ausgehend werden Ihnen systematisch Problemlösestrategien, die Grundlagen der Logik und die wichtigsten Beweistechniken vermittelt. Bei der Lektüre des Buches werden Sie Ihre Kreativität schulen und sich universelle Prinzipien der Wissenschaft Mathematik aneignen, die weit über die gestellten Aufgaben hinausreichen und Ihnen den Weg zur höheren Mathematik ebnen. Sie lernen, selbständig mathematische Probleme zu lösen, den Sinn von Beweisen zu verstehen und selbst Beweise zu finden.
 
Das Buch basiert auf einer einsemestrigen Vorlesung, die der Autor an der Universität Oldenburg mit großem Erfolg gehalten hat. Es eignet sich zum Selbststudium, als Grundlage für einführende Lehrveranstaltungen im Mathematikstudium und für problemlöseorientierten Unterricht in der Schule. (Verlagsinformation)
 
 
 
 
 
 
/ AUS DEM INHALT: / / /
 
 
Einführung 1
 
 
 
1 Erste mathematische Erkundungen 11
 
1.1 Zersägen eines Baumstamms 11
 
1.2 Ein Problem mit Nullen 12
 
1.3 Ein Problem über Geraden in der Ebene 16
 
1.4 Werkzeugkasten 22
 
Aufgaben 23
 
 
 
2 Die Idee der Rekursion 25
 
2.1 Die Technik der Rekursion 25
 
2.2 Die Anzahl der Teilmengen 28
 
2.3 Pflasterungen mit Dominosteinen 34
 
2.4 Auflösen der FraoNACCi-Rekursion 38
 
2.5 Triangulierungen 45
 
2.6 Werkzeugkasten 52
 
Aufgaben 52
 
 
 
3 Vollständige Induktion 55
 
3.1 Das Induktionsprinzip 55
 
3.2 Färbungen 58
 
3.3 Werkzeugkasten 63
 
Aufgaben 63
 
 
 
4 Graphen 67
 
4.1 Die EuLERsche Formel für ebene Graphen 67
 
4.2 Doppeltes Abzählen bei Graphen 75
 
4.3 Händeschütteln und Graphen 78
 
4.4 Fünf Punkte mit allen Verbindungen in der Ebene . . . 79
 
4.5 Weiterführende Bemerkungen: EuLERsche Polyederformel, Topologie und Vierfarbenproblem 83
 
4.6 Werkzeugkasten 86
 
Aufgaben 87
 
 
 
5 Abzählen 91
 
5.1 Grundprinzipien des Abzählens 91
 
5.2 Abzählen durch Bijektion 99
 
5.3 Doppeltes Abzählen 104
 
5.4 Weiterführende Bemerkungen: Doppelsummen, Integrale und Unendlichkeiten 109
 
5.5 Werkzeugkasten 113
 
Aufgaben 113
 
 
 
6 Allgemeine Strategien 117
 
6.1 Allgemeine Problemlösestrategien 117
 
6.2 Die Diagonale im Quader 121
 
6.3 Das Trapezzahlen-Problem 124
 
6.4 Weiterführende Bemerkungen: Summen-Darstellungen ganzer Zahlen 131
 
Aufgaben 133
 
 
 
7 Logik und Beweise 135
 
7.1 Logik 135
 
7.2 Beweise 144
 
Aufgaben 155
 
 
 
8 Elementare Zahlentheorie 159
 
8.1 Teilbarkeit, Primzahlen und Reste 159
 
8.2 Kongruenzen 164
 
Aufgaben 169
 
 
 
9 Das Schubfachprinzip 173
 
9.1 Das Schubfachprinzip, Beispiele 173
 
9.2 Reste als Schubfächer 177
 
9.3 Eine Erkundungstour: Approximation durch Brüche . 179
 
9.4 Ordnung im Chaos: Das Schubfachprinzip in der Graphentheorie 190
 
9.5 Werkzeugkasten 192
 
Aufgaben 192
 
 
 
10 Das Extremalprinzip 195
 
10.1 Das allgemeine Extremalprinzip 196
 
10.2 Das Extremalprinzip als Problemlösestrategie, I . . . . 202
 
Schema für das Extremalprinzip 204
 
10.3 Das Extremalprinzip als Problemlösestrategie, II . . . . 211
 
10.4 Weiterführende Bemerkungen: Optimierung, Spiegel und Billard 216
 
10.5 Werkzeugkasten 223
 
Aufgaben 223
 
 
 
11 Das Invarianzprinzip 229
 
11.1 Das Invarianzprinzip, Beispiele 229
 
11.2 Schema für das Invarianzprinzip 234
 
11.3 Weitere Beispiele 236
 
11.4 Weiterführende Bemerkungen: Knoten, Erhaltungsgrößen und der Sinn von Unmöglichkeitsbeweisen 246
 
11.5 Werkzeugkasten 251
 
Aufgaben 251
 
 
 
A Ein Überblick über Problemlösestrategien 257
 
B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen 263
 
Symbolverzeichnis 269
 
 
 
Glossar 271
 
Listen der Probleme, Sätze und Verfahren 277
 
Hinweise zu ausgewählten Aufgaben 279
 
Literaturverzeichnis 289
 
Details
VerfasserIn: Grieser, Daniel
VerfasserInnenangabe: Daniel Grieser
Jahr: 2013
Verlag: Wiesbaden, Springer Spektrum
Systematik: NN.M
ISBN: 978-3-8348-2459-2
2. ISBN: 3-8348-2459-3
Beschreibung: XI, 292 S. : graph. Darst.
Schlagwörter: Mathematik, Problemlösen, Ratgeber, Beweis, Mathematisches Problem, Anleitung, Einführung, Entscheidung, Fields-Medaille, Mathematische Physik, Begründung, Beweisbarkeit, Aufgabenlösung, Lösung <Problem>, Lösungsorientierung / Problemlösen, Patentlösung, Problemlösung, Problemlösungsprozess, Problemlösungsstrategie, Problemlösungsverhalten, Reine Mathematik, Beweise, Demonstratio propter quid, Demonstratio quia, Mathematik / Problem, Mathematik / Probleme, Mathematische Vermutung, Algebra, Analysis, Angewandte Mathematik, Computermathematik, Diskrete Mathematik, Exakte Wissenschaften, Geometrie, Mathematische Logik, Mathematische Methode, Mengenlehre, Metamathematik, Numerische Mathematik, Optimierung, Schulmathematik, Stochastik, Topologie, Indizienbeweis, Riemannsche Vermutung
Fußnote: Literaturangaben
Mediengruppe: Buch