Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Studierende der Mathematik in Bachelor- und Lehramts-Studiengängen. Es bietet in einem Band ein lebendiges Bild der mathematischen Inhalte, die üblicherweise im ersten Studienjahr behandelt werden (und etliches mehr).
Mathematik-Studierende finden wichtige Begriffe, Sätze und Beweise ausführlich und mit vielen Beispielen erklärt und werden an grundlegende Konzepte und Methoden herangeführt.
Im Mittelpunkt stehen das Verständnis der mathematischen Zusammenhänge und des Aufbaus der Theorie sowie die Strukturen und Ideen wichtiger Sätze und Beweise. Es wird nicht nur ein in sich geschlossenes Theoriengebäude dargestellt, sondern auch verdeutlicht, wie es entsteht und wozu die Inhalte später benötigt werden.
Herausragende Merkmale sind:
durchgängig vierfarbiges Layout mit mehr als 600 Abbildungen prägnant formulierte Kerngedanken bilden die Abschnittsüberschriften Selbsttests in kurzen Abständen ermöglichen Lernkontrollen während des Lesens farbige Merkkästen heben das Wichtigste hervor „Unter-der-Lupe“-Boxen zoomen in Beweise hinein, motivieren und erklären Details „Hintergrund-und-Ausblick“-Boxen stellen Zusammenhänge zu anderen Gebieten und weiterführenden Themen her. Zusammenfassungen zu jedem Kapitel sowie Übersichtsboxen mehr als 400 Verständnisfragen, Rechenaufgaben und Aufgaben zu Beweisen deutsch-englisches Symbol- und Begriffsglossar.
Der inhaltliche Schwerpunkt liegt auf den Themen der Vorlesungen Analysis 1 und 2 sowie Linearer Algebra 1 und 2. Behandelt werden darüber hinaus Inhalte und Methodenkompetenzen, die vielerorts im ersten Studienjahr der Mathematikausbildung vermittelt werden.
Auf der Website zum Buch www.matheweb.de finden Sie Hinweise, Lösungswege und Ergebnisse zu allen Aufgaben Zusatzmaterialien wie Maple-Worksheets zu verschiedenen Themen des Buchs die Möglichkeit, zu den Kapiteln Fragen zu stellen.
Das Buch wird allen Studierenden der Mathematik vom Beginn des Studiums bis in höhere Semester hinein ein verlässlicher Begleiter sein. (Verlagsinformation)
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort ... V
Mathematik - eine Wissenschaft für sich
1.1 Über Mathematik, Mathematiker und dieses Lehrbuch 2
1.2 Die didaktischen Elemente dieses Buchs 8
1.3 Ratschläge zum Einstieg in die Mathematik 10
1.4 Eine kurze Geschichte der Mathematik 13
2 Logik, Mengen, Abbildungen - die Sprache der Mathematik 27
2.1 Junktoren und Quantoren 28
2.2 Grundbegriffe aus der Mengenlehre 34
2.3 Abbildungen 40
2.4 Relationen 49
Zusammenfassung 58
Aufgaben 60
3 Algebraische Strukturen - ein Blick hinter die Rechenregeln 63
3.1 Gruppen 64
3.2 Homomorphismen 71
3.3 Körper 78
3.4 Ringe 85
Zusammenfassung 95
Aufgaben 97
4 Zahlbereiche - Basis der gesamten Mathematik 101
4.1 Der Körper der reelle Zahlen 102
4.2 Anordnungsaxiome für die reellen Zahlen 106
4.3 Ein Vollständigkeitsaxiom 114
4.4 Natürliche Zahlen und vollständige Induktion 117
4.5 Ganze Zahlen und rationale Zahlen 127
4.6 Komplexe Zahlen 134
4.7 Vertiefung: Konstruktiver Aufbau der reellen Zahlen 148
Zusammenfassung 155
Aufgaben 156
5 Lineare Gleichungssysteme - ein Tor zur linearen Algebra 165
5.1 Erste Lösungsversuche 166
5.2 Das Lösungsverfahren von Gauß und Jordan 172
5.3 Das Lösungskriterium und die Struktur der Lösung 180
Zusammenfassung 185
Aufgaben 186
6 Vektorräume - von Basen und Dimensionen 189
6.1 Der Vektorraumbegriff 190
6.2 Beispiele von Vektorräumen 193
6.3 Untervektorräume 196
6.4 Basis und Dimension 198
6.5 Summe und Durchschnitt von Untervektorräumen 211
Zusammenfassung 222
Aufgaben 223
7 Analytische Geometrie -
Rechnen statt Zeichnen 227
7.1 Punkte und Vektoren im Anschauungsraum 228
7.2 Das Skalarprodukt im Anschauungsraum . 232
7.3 Weitere Produkte von Vektoren im Anschauungsraum 238
7.4 Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen 247
7.5 Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen 257
Zusammenfassung 268
Aufgaben 270
8 Folgen - der Weg ins Unendliche 275
8.1 Der Begriff einer Folge 276
8.2 Konvergenz 283
8.3 Häufungspunkte und Cauchy-Folgen 291
Zusammenfassung 299
Aufgaben 300
9 Funktionen und Stetigkeit - E trifft auf 8 303
9.1 Grundlegendes zu Funktionen 304
9.2 Beschränkte und monotone Funktionen .. 310
9.3 Grenzwerte für Funktionen und die Stetigkeit 313
9.4 Abgeschlossene. offene, kompakte Mengen 322
9.5 Stetige Funktionen mit kompaktem
Definitionsbereich, Zwischenwertsatz . . . . . . 330
Zusammenfassung 341
Aufgaben 342
10 Reihen - Summieren bis zum Letzten 347
10.1 Motivation und Definition 348
10.2 Kriterien für Konvergenz 355
10.3 Absolute Konvergenz 363
10.4 Kriterien für absolute Konvergenz 368
Zusammenfassung 376
Aufgaben 377
11 Potenzreihen - Alleskönner unter den Funktionen 381
11.1 Definition und Grundlagen 382
11.2 Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen 389
11.3 Die Exponentialfunktion 398
11.4 Trigonometrische Funktionen 403
11.5 Der Logarithmus 409
Zusammenfassung 413
Aufgaben 414
12 Lineare Abbildungen und Matrizen - Brücken zwischen Vektorräumen 417
12.1 Definition und Beispiele 418
12.2 Verknüpfungen von linearen Abbildungen 422
12.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel 425
12.4 Darstellungsmatrizen 432
12.5 Das Produkt von Matrizen 442
12.6 Das Invertieren von Matrizen 446
12.7 Elementarmatrizen 451
12.8 Basistransformation 455
12.9 Der Dualraum 458
Zusammenfassung 462
Aufgaben 464
13 Determinanten - Kenngrößen von Matrizen 469
13.1 Die Definition der Determinante 470
13.2 Determinanten von Endomorphismen 475
13.3 Berechnung der Determinante 476
13.4 Anwendungen der Determinante 483
Zusammenfassung 492
Aufgaben 494
14 Normalformen - Diagonalisieren und Triangulieren 497
14.1 Diagonalisierbarkeit 498
14.2 Eigenwerte und Eigenvektoren 501
14.3 Berechnung der Eigenwerte und
Eigenvektoren 503
14.4 Algebraische und geometrische Vielfachheit 510
14.5 Die Exponentialfunktion für Matrizen 519
14.6 Das Triangulieren von Endomorphismen .. 521
14.7 Die Jordan-Normalform 526
14.8 Die Berechnung einer Jordan-Normalform und Jordan-Basis 532
Zusammenfassung 544
Aufgaben 546
15 Differenzialrechnungdie Linearisierung von Funktionen 551
15.1 Die Ableitung 552
15.2 Differenziationsregeln 560
15.3 Der Mittelwertsatz 569
15.4 Verhalten differenzierbarer Funktionen 577
15.5 Taylorreihen 583
Zusammenfassung 593
Aufgaben 594
16 Integrale - von lokal zu global 599
16.1 Integration von Treppenfunktionen 600
16.2 Das Lebesgue-Integral 604
16.3 Stammfunktionen 613
16.4 Integrationstechniken 618
16.5 Integration über unbeschränkte Intervalle oder Funktionen 622
16.6 Parameterabhängige Integrale 633
16.7 Weitere Integrationsbegriffe 637
Zusammenfassung 649
Aufgaben 650
17 Euklidische und unitäre Vektorräume - orthogonales Diagonalisieren 655
17.1 Euklidische Vektorräume 656
17.2 Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalität .. 662
17.3 Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente 668
17.4 Unitäre Vektorräume 678
17.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen 681
17.6 Selbstadjungierte Endomorphismen 691
17.7 Normale Endomorphismen 697
Zusammenfassung 705
Aufgaben 708
18 Quadriken - vielseitig nutzbare Punktmengen 713
18.1 Symmetrische Bilinearformen 714
18.2 Hermitesche Sesquilinearformen 724
18.3 Quadriken und ihre Hauptachsentransformation 728
18.4 Die Singulärwertzerlegung 741
18.5 Die Pseudoinverse einer linearen
Abbildung 743
Zusammenfassung 753
Aufgaben 754
19 Metrische Räume - Zusammenspiel von Analysis und lineare Algebra 759
19.1 Metrische Räume und ihre Topologie 760
19.2 Konvergenz und Stetigkeit in metrischen Räumen 768
19.3 Kompaktheit 783
19.4 Zusammenhangsbegriffe 792
19.5 Vollständigkeit 797
19.6 Banach- und Hilberträume 803
Zusammenfassung 817
Aufgaben 819
20 Differenzialgleichungen - Funktionen sind gesucht 823
20.1 Begriffsbildungen 824
20.2 Elementare analytische Techniken 833
20.3 Existenz und Eindeutigkeit 841
20.4 Grundlegende numerische Verfahren 848
Zusammenfassung 854
Aufgaben 855
21 Funktionen mehrerer Variablen - Differenzieren im Raum 859
21.1 Einführung 860
21.2 Differenzierbarkeitsbegriffe: Totale und partielle Differenzierbarkeit 861
21.3 Differenziationsregeln 875
21.4 Mittelwertsätze und Schrankensätze 883
21.5 Höhere partielle Ableitungen und der Vertauschungssatz von H. A. Schwarz 885
21.6 Taylor-Formel und lokale Extrema 889
21.7 Der lokale Umkehrsatz 895
21.8 Der Satz über implizite Funktionen 901
Zusammenfassung 905
Aufgaben 908
22 Gebietsintegrale - das Ausmessen von Mengen 913
22.1 Definition und Eigenschaften 914
22.2 Die Berechnung von Gebietsintegralen 922
22.3 Die Transformationsformel 931
22.4 Wichtige Koordinatensysteme 937
Zusammenfassung 945
Aufgaben 946
23 Vektoranalysis - im Zentrum steht der Gauß'sche Satz 951
23.1 Kurven im Rn 952
23.2 Das Kurvenintegral 960
23.3 Flächen und Flächenintegrale 968
23.4 Der Gauß'sche Satz 980
Zusammenfassung 1002
Aufgaben 1003
24 Optimierung - aber mit Nebenbedingungen 1007
24.1 Lineare Optimierung 1008
24.2 Das Simplex-Verfahren 1017
24.3 Dualitätstheorie 1026
24.4 Differenzierbare Probleme 1035
Zusammenfassung 1042
Aufgaben 1043
25 Elementare Zahlentheorie - Teiler und Vielfache 1047
25.1 Teilbarkeit 1048
25.2 Der euklidische Algorithmus 1049
25.3 Der Fundamentalsatz der Arithmetik 1053
25.4 ggT und kgV 1054
25.5 Zahlentheoretische Funktionen 1057
25.6 Rechnen mit Kongruenzen 1063
Zusammenfassung 1070
Aufgaben 1071
26 Elemente der diskreten Mathematik - die Kunst des Zählens 1075
26.1 Einführung in die Graphentheorie 1076
26.2 Einführung in die Kombinatorik 1090
26.3 Erzeugende Funktionen 1097
Zusammenfassung 1101
Aufgaben 1103
Hinweise zu den Aufgaben. . . 1107
Lösungen zu den Aufgaben. . .1125
Bildnachweis 1141
Symbolglossar deutsch/englisch " 1143
Index. . . . 1161