/ AUS DEM INHALT: / / /
Einleitung IX
1 Einführende Überlegungen 1
1.1 Erste Aspekte 3
Was ist eine Differentialgleichung? 3
Welche Fragen stellen wir? 4
Mathematische Modellierung 5
1.2 Richtungsfelder 7
ElJLER-Polygonzugverfahren 8
Historische Notizen zu EULER und CAUCHY 10
Maple Worksheets zu Kapitel 1 11
2 Elementare Integrationsinethoden 19
2.1 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen' 19
2.2 Differentialgleichungen vom Typ y' = /(£f±£Ji±lL) 23
2.3 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 26
2.4 BERNOULLI-Differentialgleichung 28
2.5 RlCCATl-Differentialgleichung 29
Zusammenhang mit homogener linearer DGL 2. Ordnung. 30
Elementare Integration bei bekannter spezieller Lösung... 31
2.6 Exakte Differentialgleichungen 33
Multiplikatoren 34
2.7 CLAIRAUT-Differentialgleichung 36
Historische Notizen zu BERNOULLI, CLAIRAUT und RlCCATl 41
Maple Worksheets zu Kapitel 2 43
3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz 67
3.1 Einleitung 67
3.2 Fixpunktsatz für verallgemeinerte Kontraktionen 70
3.3 Existenz- und Eindeutigkeitssatz 75
Differentialgleichungssystem 1. Ordnung 78
Explizite Differentialgleichungen fc-ter Ordnung 79
3.4 Fehlerabschätzungen und Abhängigkeitsüberlegungen 80
3.5 Lösungen ,im Großen' 82
Maximale Existenzintervalle 84
3.6 Qualitative Beschreibung autonomer Systeme 86
Mathematisches Pendel 90
Räuber-Beute-Modell 93
Fluß zu einer gegebenen DGL 97
3.7 Modifikation des Hauptsatzes für Funktionen mit Werten im Cfc 98
Historische Notizen zu BANACH 99
Maple Worksheets zu Kapitel 3 101
4 Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme I 123
4.1 Existenz- und Eindeutigkeitssatz 123
4.2 Linear-algebraische Folgerungen 124
4.3 Homogene lineare Differentialgleichungssysteme 125
4.4 Homogene lineare DGLen höherer Ordnung 129
4.5 Transformation von Differentialgleichungssystemen 130
4.6 Inhomogene lineare Differentialgleichungen 131
Inhomogene lineare DGL fc-ter Ordnung 131
4.7 Reduktion der Ordnung 133
Historische Notizen zu D'ALEMBERT 136
Maple Worksheets zu Kapitel 4 137
5 Lineare Differentialgleichungen und DGL-Systeme II 151
5.1 Exponentialfunktion von Matrizen 152
5.2 Homogene lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten 155
5.3 Zweidimensionale Systeme, Stabilität 159
5.4 Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten und speziellen
Inhomogenitäten 169
5.5 Lineare DGLen höherer Ordnung mit konstanten
Koeffizienten 172
5.6 Homogene lineare Differentialgleichungen mit periodischen
Koeffizientenfunktionen 175
Historische Notizen zu JORDAN 182
Maple Worksheets zu Kapitel 5 183
6 Nützliches - nicht nur für den Praktiker 205
6.1 Lösungen über Potenzreihenansatz 205
HERMITE-Differentialgleichung 207
LEGENDRE-Differentialgleichung 208
6.2 Schwach singuläre Punkte 214
BESSEL-Differentialgleichung 220
6.3 LAPLACE-Transformation 224
Anwendung auf Anfangswertaufgaben 231
Unstetige Inhomogenitäten 236
Zur inversen LAPLACE-Transformation 238
Kleine Tabelle von LAPLACE-Transformierten 240
Historische Notizen zu LAPLACE 242
Maple Worksheets zu Kapitel 6 243
7 Rand- und Eigenwert probleme 265
7.1 Randwertaufgaben für lineare DGL-Systeme mit linearen
Randbedingungen 266
GREEN-Matrix 269
7.2 Randwertprobleme für lineare DGLen fc-ter Ordnung 274
7.3 Nicht-lineare Randwertaufgaben und Fixpunktprobleme 282
7.4 Selbstadjungierte Randwertaufgaben 283
7.5 Selbstadjungierte Randeigenwertaufgaben 287
FOURIER-REIHEN 292
Entwicklungssätze 294
7.6 STURM-LlOUVlLLE-Randeigenwertaufgaben 301
Historische Notizen zu FOURIER 304
Maple Worksheets zu Kapitel 7 305
8 Anhang über Matrixfunktionen 325
8.1 Matrixpolynome 325
Spektraldarstellung von SYLVESTER-BUCHHEIM 328
8.2 Matrixfunktionen: Definition, Eigenschaften 331
8.3 Beispiele zur Berechnung von Matrixfunktionen 339
Historische Notizen zu SYLVESTER 345
Maple Worksheets zum Anhang über Matrixfunktionen . . 347
Anhang zu Maple 359
Symbolverzeichnis 371
Namen- und Sachverzeichnis 373
Index zu Maple 381
Literaturverzeichnis 385