Kompendium grundlegender mathematischer Sachverhalte der linearen Algebra, der analytischen Geometrie, reellen Funktionen sowie der Differenzial- und Integralrechnung; für Oberstufenschüler und Studienanfänger.
Der mathematische Ratgeber für die ersten beiden Studienjahre!Wer im Nebenfach Mathematik studieren muß, findet hier das wesentliche mathematische Wissen übersichtlich zusammengestellt und ausführlich erklärt! Viele Beispiele, ein umfangreicher Übungsteil und die konsequente Einbeziehung von WolframAlpha, der freien „Wissensmaschine“ von Wolfram Research, geben Hilfe und Orientierung beim Erlernen der Mathematik an Hochschulen. Abiturienten bei der Vorbereitung auf ein naturwissenschaftlich-technisches, Ingenieur-, Ökonomie- usw. Studium aber auch Studierende, die den Überblick in Sachen Mathematik behalten wollen, werden die „kommentierte Formelsammlung“ mit Begeisterung zur Hand nehmen.
/ AUS DEM INHALT: / / /
0 Einleitung I
i Das Team ist der Primus II
ii Eingangstest III
iii Wolfis Welt VI
iv Zur Benutzung des Buches XII
1 Elementarmathematik 1
1.1 Diskrete Mathematik 3
1.1.1 Was ist Logik? 3
1.1.2 Logische Gleichwertigkeit 9
1.1.3 Methode der vollständigen Induktion 13
1.1.4 Für Informatiker und solche, die es werden wollen: Boolesche und Schaltungsalgebra 14
1.2 Mengenlehre 16
1.2.1 Operationen mit Mengen 18
1.2.2 Gegenüberstellung der Logik- und Mengensymbolik 21
1.3 Arithmetik 22
1.3.1 Zahlenmengen 22
1.3.2 Summen und Produkte 25
1.3.3 Grundgesetze der Arithmetik 30
1.3.4 Teilbarkeit und Primzahlen 31
1.3.5 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen 33
1.3.6 Absoluter Betrag 36
1.3.7 Binomischer Lehrsatz 37
1.4 Komplexe Zahlen 40
1.4.1 Definition und Darstellung 40
1.4.2 Umwandlung der verschiedenen Darstellungsformen 42
1.4.3 Komplexe Rechnung 43
1.4.4 Anwendung der komplexen Zahlen 47
1.5 Kombinatorik 48
1.5.1 Permutation 50
1.5.2 Kombination 53
1.5.3 Variation 55
1.6 Wahrscheinlichkeitsrechnung 57
1.6.1 Grundbegriffe 57
1.6.2 Wahrscheinlichkeit 58
1.6.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 62
1.6.4 Totale Wahrscheinlichkeit 64
1.7 Beispiele 67
1.7.1 Aussagenlogik, Mengenlehre und Beweismethoden 67
1.7.2 Zahlenbereiche und Grundrechenarten 70
1.7.3 Komplexe Zahlen 73
1.7.4 Kombinatorik 74
1.7.5 Wahrscheinlichkeitsrechnung 75
1.8 Zusammenfassung 76
1.8.1 Abschlussübung. Ansteuerung einer LCD-Anzeige 77
1.8.2 Spicker. Komplexe Zahlen 79
1.8.3 Wolfram|Alpha-Syntax - Elementarmathematik 81
2 Lineare Algebra 83
2.1 Gleichungen und Ungleichungen 85
2.1.1 Algebraische Gleichungen 87
2.1.2 Äquivalente Umformungen 89
2.1.3 Lineare und Quadratische Gleichungen 90
2.1.4 Gleichungen n-ten Grades 92
2.1.5 Wurzelgleichungen 93
2.1.6 Ungleichungen 95
2.1.7 Gleichungen 6 Ungleichungen mit Beträgen 97
2.2 Transzendente Gleichungen 99
2.2.1 Exponential- und Logarithmengleichungen 99
2.2.2 Trigonometrische Gleichungen 100
2.3 Matrizen und Determinanten 103
2.3.1 Begriffserklärung und Notation 104
2.3.2 Spezielle Formen und Basisoperationen 105
2.4 Rechnen mit Matrizen 108
2.4.1 Addition und Subtraktion 108
2.4.2 Matrizenmultiplikation 109
2.4.3 Elementarmatrizen 111
2.4.4 Rang einer Matrix 113
2.4.5 Invertieren einer Matrix 115
2.4.6 Orthogonale Matrizen 117
2.4.7 Übersicht. Arten von Matrizen 118
2.5 Determinanten 118
2.5.1 Unterdeterminanten 119
2.5.2 Eigenschaften der Determinanten 121
2.6 Lineare Gleichungssysteme 124
2.6.1 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 124
2.6.2 GauSscher Algorithmus 125
2.6.3 Gauss-Jordan-Verfahren 128
2.6.4 Cramersche Regel 129
2.7 Beispiele 130
2.7.1 Bestimmungsgleichungen 130
2.7.2 Ungleichungen 133
2.7.3 Matrizen und Determinanten 134
2.7.4 Lineare und nichtlineare Gleichungssysteme 136
2.8 Zusammenfassung 140
2.8.1 Abschlussübung. Berechnung von Zweigströmen 141
2.8.2 Spicker. Matrizen und Determinanten 143
2.8.3 Wolfram|Alpha-Syntax - Lineare Algebra 145
3 Vektoren und analytische Geometrie 147
3.1 Begriffe und Grundgesetze der Vektorrechnung 149
3.1.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 150
3.1.2 Der Einheitsvektor 150
3.1.3 Addition und Subtraktion von Vektoren 150
3.1.4 Lineare Abhängigkeit und Basis 152
3.1.5 Komponentendarstellung und Richtungskosinus 153
3.2 Multiplikation von Vektoren 157
3.2.1 Das skalare oder innere Produkt 157
3.2.2 Das vektorielle oder äußere Produkt 161
3.3 Analytische Geometrie 164
3.3.1 Geradengleichung in der Ebene 164
3.3.2 Parameterform der Ebenenglelchung 169
3.3.3 Lagebeziehungen 171
3.3.4 Abstandsberechnungen 175
3.3.5 Kegelschnitte 178
3.4 Beispiele 188
3.4.1 Vektoralgebra 188
3.4.2 Analytische Geometrie 190
3.5 Zusammenfassung 195
3.5.1 Abschlussübung. Kräfte am Kurbeltrieb 196
3.5.2 Spicker. Vektoren und analytische Geometrie 197
3.5.3 Wolfram|Alpha-Syntax - Vektoren 199
4 Funktionen einer reellen Veränderlichen 201
4.1 Folgen 203
4.1.1 Definition und Darstellung 203
4.1.2 Eigenschaften von Folgen 205
4.1.3 Nullfolgen 205
4.1.4 Konvergenzkriterien und Grenzwertsätze 207
4.1.5 Spezielle Zahlenfolgen 211
4.2 Funktionen 214
4.2.1 Definition und Darstellung 214
4.2.2 Zusammengesetzte Funktion 218
4.2.3 Kombination und Komposition von Funktionen 218
4.3 Umkehrfunktion 220
4.4 Eigenschaften von Funktionen 224
4.4.1 Schnittpunkte mit den Achsen 224
4.4.2 Monotonie 225
4.4.3 Beschränktheit 226
4.4.4 Symmetrie 227
4.4.5 Periodizität 228
4.5 Koordinatentransformationen 229
4.5.1 Parallelverschiebung des kartesischen Koordinatensystems 229
4.5.2 Maßstabsänderung 230
4.6 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 231
4.6.1 Grenzwert einer Funktion 232
4.6.2 Einseitige Grenzwerte 234
4.6.3 Konvergenz und Divergenz 235
4.6.4 Grenzwertsätze 236
4.6.5 Begriff der Stetigkeit 237
4.6.6 Singularitäten einer Funktion 238
4.7 Grundfunktionen einer Variablen 239
4.7.1 Potenz- und Wurzelfunktionen 239
4.7.2 Exponential- und Logarithmusfunktionen 242
4.7.3 Trigonometrische und Arkus-Funktionen 244
4.8 Mittelbare und elementare Funktionen 250
4.8.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) 250
4.8.2 Gebrochenrationale Funktionen . 254
4.8.3 Hyperbolische Funktionen 258
4.8.4 Areafunktionen 260
4.9 Interpolation nach Newton 262
4.10 Beispiele 265
4.10.1 Folgen reeller Zahlen 265
4.10.2 Funktionsbegriff und elementare Eigenschaften 265
4.10.3 Umkehrfunktion 267
4.10.4 Grenzwerte und Stetigkeit 268
4.10.5 Grundfunktionen 270
4.10.6 Ganzrationale und gebrochen rationale Funktionen 271
4.11 Zusammenfassung 272
4.11.1 Abschlussübung. Interpolation nach Newton 273
4.11.2 Spicker. Funktionen einer Veränderlichen 275
4.11.3 Wolfram|Alpha-Syntax - Analysis 277
5 Differential- und Integralrechnung 279
5.1 Tangentenproblem und Ableitungsregeln 281
5.1.1 Zur Ableitung elementarer Funktionen 283
5.1.2 Grundregeln der Differentiation 285
5.1.3 Ableitung mittelbarer Funktionen (Kettenregel) 287
5.1.4 Logarithmische Ableitung 288
5.1.5 Ableitung der Umkehrfunktion 289
5.1.6 Ableitungen höherer Ordnung 290
5.1.7 Hauptsätze der Differentialrechnung 291
5.2 Anwendungen der Differentialrechnung 293
5.2.1 Differential einer Funktion 293
5.2.2 Tangenten- und Normalengleichung sowie Linear'isieren einer Funktion 294
5.2.3 Deutung von charakteristischen Kurvenpunkten 294
5.2.4 Kurvendiskussion 297
5.2.5 Extremwertaufgaben 299
5.2.6 Grenzwertregeln von Bernoulli und de L' Hospital 300
5.2.7 Näherungslösungen 302
5.3 Stammfunktion und unbestimmtes Integral 304
5.4 Integrationsmethoden 306
5.4.1 Elementare Integrationsregeln 306
5.4.2 Substitutionsmethode 307
5.4.3 Partielle Integration 310
5.4.4 Integration von Partialbrüchen 312
5.5 Bestimmtes Integral 314
5.5.1 Sätze über bestimmte Integrale 315
5.5.2 Spezielle bestimmte Integrale 318
5.5.3 Uneigentliche Integrale 319
5.5.4 Numerische Integration 320
5.6 Anwendungen der Integralrechnung 321
5.6.1 Flächeninhalt eines ebenen Normalbereichs 321
5.6.2 Bogenlänge einer ebenen Kurve 322
5.6.3 Volumen eines Rotationskörpers 323
5.6.4 Mantelfläche eines Rotationskörpers 325
5.6.5 Zum Schluss. Das Paradoxon der unendlichen Posaune 326
5.7 Beispiele 327
5.7.1 Differentialrechnung 327
5.7.2 Integralrechnung 332
5.8 Zusammenfassung 336
5.8.1 Abschlussübung. Extremwertaufgabe 337
5.8.2 Spicker. Differentialrechnung 339
5.8.3 Wolfram|Alpha-Syntax - Analysis 341
| Übungsaufgaben 343
6.1 Übungen. Elementarmathematik 344
6.2 Übungen. Lineare Algebra 350
6.3 Übungen. Vektoren 6 analytische Geometrie 356
6.4 Übungen. Folgen 6 Funktionen 362
6.5 Übungen. Differential- und Integralrechnung 368
| Lösungen 373
7.1 Lösungen. Elementarmathematik 376
7.2 Lösungen. Gleichungen ö Ungleichungen 396
7.3 Lösungen. Vektoren 6 analytische Geometrie 414
7.4 Lösungen. Folgen 6 Funktionen 429
7.5 Lösungen. Differential- 6 Integralrechnung 443
| Kleine Formelkunde 463
A.1 Mathematische Symbolik 463
A.2 Formelsammlung 467
| Bibliographie 485
B.1 Fundstellen 485
B.2 Bildquellen 486
| Begriffsindex 487