Auf breiter fachlicher Ebene werden in dem Lehrbuch einfache elementare zahlentheoretische Inhalte besprochen, aber auch Stoffkomplexe aus der analytischen und algebraischen Zahlentheorie dargestellt. Sämtliche Kapitel enthalten umfassend Beispiele, Übungsaufgaben mit Lösungen, Abbildungen und ausführlich durchgerechnete Beweise, so dass es sich sehr gut zur Prüfungsvorbereitung eignet.
Prof. Dr. Hartmut Menzer, Friedrich Schiller Universität Jena Prof. Dr. Ingo Althöfer, Friedrich Schiller Universtität Jena
/ AUS DEM INHALT: / / /
Einleitung 1
1 Die Zahlbereiche N, Z und Q 5
1.1 Natürliche Zahlen 5
1.2 Ganze Zahlen 9
1.3 Teilbarkeit in Z 11
1.4 Brüche und Rationale Zahlen 13
1.5 Division mit Rest 15
1.6 Gekürzte Brüche 18
1.7 Vollständige Induktion 19
1.8 Die vollständige Ganz-Abgeschlossenheit von Z 23
2 Primzahlen 27
2.1 Primzahlen 28
2.2 Fundamentalsatz der Zahlentheorie 31
2.3 Euklidischer Algorithmus 36
2.4 Lineare Kongruenzen und Eulersche (^-Funktion 46
2.5 Lineare diophantische Gleichungen 61
2.6 Fermatsche und mersennesche Zahlen 71
2.7 Vollkommene Zahlen 77
3 Die Zahlbereiche M und C 85
3.1 Reelle Zahlen 85
3.2 Komplexe Zahlen 96
3.3 Algebraische und transzendente Zahlen 102
3.4 Spezielle algebraische Zahlen 113
3.5 k-adische Brüche 115
3.6 Kettenbruchdarstellungen 123
3.6.1 Allgemeine Kettenbrüche 124
3.6.2 Reguläre Kettenbrüche 131
3.7 Irrationalitätsbeweise 159
3.8 Transzendenzbeweis von e 164
4 Zahlentheoretische Funktionen 169
4.1 Multiplikative und additive Funktionen 169
4.1.1 Beispiele zahlentheoretischer Funktionen 170
4.1.2 Multiplikative zahlentheoretische Funktionen 172
4.1.3 Additive zahlentheoretische Funktionen 173
4.1.4 Primzahlunabhängige zahlentheoretische Funktionen 174
4.1.5 Summatorische Funktionen 175
4.2 Die Teilerfunktionen 178
4.3 Dirichlet-Faltung 185
4.4 Dirichletsche Reihen 193
4.5 Eulersche Summenformel 200
4.5.1 Landausche Ordnungssymbole 200
4.5.2 Endliche Summen 203
4.5.3 Eulersche Summenformel 207
4.6 Riemannsche Zetafunktion 209
4.7 Möbiussche /i-Funktion 214
4.8 Mittelwerte und Größenordnungen 217
5 Quadratische und höhere Kongruenzen 229
5.1 Primitive Wurzeln 229
5.2 Indexrechnung 240
5.3 Quadratische Kongruenzen 245
5.4 Darstellungen von Zahlen als Quadratsummen 263
5.5 Höhere Kongruenzen 270
6 Zwei-Personen-Spiele mit Zahlen 287
6.1 Subtraktions-Spiele 287
6.1.1 Das 1-2-Subtraktions-Spiel 288
6.1.2 Rückwärts-Analyse 291
6.1.3 Struktur: Perioden und Vorperioden 294
6.1.4 Spiele-Familien mit langen Perioden und Vorperioden 295
6.2 Das Nim-Spiel und Boutons Strategie 305
6.2.1 Die Strategie von Bouton 306
6.2.2 Die Rache des Verlierers 309
6.3 Subtraktions-Spiele mit anderen Zugreihenfolgen 310
6.3.1 A-A-B-A-B-A-A-B-A-B- 310
6.3.2 Die Macht der häufigeren Alice 315
7 Drei moderne Spiele: Uber Zahlen - Würfel - Schildkröten 321
7.1 Letzter Mann voran 323
7.2 EinStein würfelt nicht 331
7.3 Karls Rennen 339
7.4 Die drei Spiele im Vergleich 347
Anhang 349
Relationen 349
Algebraische Strukturen 350
Elemente der Analysis 352
RSA-Algorithmus 354
Lösungshinweise und Lösungen 357
Kapitel 1 357
Kapitel 2 358
Kapitel 3 360
Kapitel 4 364
Kapitel 5 366
Kapitel 6 368
Literaturverzeichnis 371
Symbolverzeichnis 377
Index 379