Einführendes Lehrbuch für Studierende der Mathematik ab dem 3. Semester sowie für Naturwissenschaftler und Informatiker mit Interesse an den Grundlagen der Stochastik.
/ AUS DEM INHALT: / / /
Vorwort v
Zufall und Mathematik 1
I Wahrscheinlichkeitstheorie
1 Mathematische Beschreibung von Zufallssituationen 7
1.1 Wahrscheinlichkeitsräume 7
1.2 Eigenschaften und Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen 15
1.3 Zufallsvariablen 21
Aufgaben 25
2 Stochastische Standardmodelle 29
2.1 Die Gleichverteilungen 29
2.2 Urnenmodelle mit Zurücklegen 33
2.3 Urnenmodelle ohne Zurücklegen 39
2.4 Die Poisson-Verteilungen 43
2.5 Wartezeit-Verteilungen 45
2.6 Die Normalverteilungen 50
Aufgaben 53
3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit 57
3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 57
3.2 Mehrstufige Modelle 64
3.3 Unabhängigkeit 71
3.4 Existenz unabhängiger Zufallsvariablen, Produktmaße 77
3.5 Der Poisson-Prozess 83
3.6 Simulationsverfahren 87
3.7 Asymptotische Ereignisse 91
Aufgaben 94
4 Erwartungswert und Varianz 101
4.1 Der Erwartungswert 101
4.2 Wartezeitparadox und fairer Optionspreis 110
4.3 Varianz und Kovarianz 117
4.4 Erzeugende Funktionen 120
Aufgaben 124
5 Gesetz der großen Zahl und zentraler Grenzwertsatz 129
5.1 Das Gesetz der großen Zahl 129
5.2 Die Normalapproximation der Binomialverteilungen 142
5.3 Der zentrale Grenzwertsatz 150
5.4 Normal-oder Poisson-Approximation? 156
Aufgaben 159
6 Markov-Ketten 167
6.1 Die Markov-Eigenschaft 167
6.2 Absorptionswahrscheinlichkeiten 171
6.3 Asymptotische Stationarität 176
6.4 Wiederkehrzeiten und Besuchswahrscheinlichkeiten 186
Aufgaben 200
II Statistik
7 Parameterschätzung 211
7.1 Der Ansatz der Statistik 211
7.2 Die Qual der Wahl 216
7.3 Das Maximum-Likelihood-Prinzip 219
7.4 Erwartungstreue und quadratischer Fehler 226
7.5 Beste Schätzer 228
7.6 Konsistenz von Schätzern 235
7.7 Bayes-Schätzer 240
Aufgaben 244
8 Konfidenzbereiche 250
8.1 Definition und Konstruktionsverfahren 250
8.2 Konfidenzintervalle im Binomialmodell 257
8.3 Ordnungsintervalle 263
Aufgaben 267
9 Rund um die Normalverteilung 271
9.1 Die mehrdimensionale Normal Verteilung 271
9.2 Die /2-, F - und t -Verteilungen 275
Aufgaben 281
10 Testen von Hypothesen 286
10.1 Entscheidungsprobleme 286
10.2 Alternativtests 292
10.3 Beste einseitige Tests 297
10.4 Parametertests im Gauß-Produktmodell 301
Aufgaben 311
11 Asymptotische Tests und Rangtests 316
11.1 Normalapproximation von Multinomialverteilungen 316
11.2 Der Chiquadrat-Anpassungstest 323
11.3 Der Chiquadrat-Test auf Unabhängigkeit 330
11.4 Ordnungs- und Rangtests 337
Aufgaben 348
12 Regressions- und Varianzanalyse 353
12.1 Einfache lineare Regression 353
12.2 Das lineare Modell 357
12.3 Das lineare Gauß-Modell 362
12.4 Varianzanalyse 370
Aufgaben 379
Lösungsskizzen 385
Verteilungstabellen 416
Literatur 422
Symbolverzeichnis 426
Index 429