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In diesem Buch geht es um die fünf wichtigsten Zahlen: Außer 0 und 1 gibt es kaum noch wichtigere Zahlen als pi, i und e.

 

Die Kreiszahl pi ist nicht nur eine Sache der Geometrie: Bekanntes wird aufgefrischt und Erstaunliches hinzugelernt.

 

Die imaginäre Einheit i befreit uns von der Rechenstörung, aus negativen Zahlen nicht die Wurzel ziehen zu dürfen oder zu können.

 

Die Euler-Zahl e liegt fast allen Wachstums- und Zerfallsprozessen zugrunde: Die e-Funktion ist wohl die wichtigste mathematische Funktion überhaupt.

In dem Lehrbuch geht es um eine bemerkenswerte Beziehung zwischen den fünf Zahlen, die Eulersche Gleichung, "die schönste Formel der Mathematik", wie viele Mathematiker finden. Es soll den Weg zum Verständnis der geheimnisvollen Formel beschreiben. Dieser Weg führt durch zentrale Gebiete der Mathematik: Geometrie einschließlich Trigonometrie, Arithmetik und Algebra sowie Analysis mit einem Blick in wissenschaftliches Rechnen. Nicht die Systematik dieser Gebiete steht im Vordergrund, sondern die fundamentalen Ideen, die zum Entstehen der Formel beitragen.

 

 

Aus dem Inhalt:

1 Die Kreiszahl x 1 / 1.1 Definition von x 2 / 1.1.1 Eigenschaften des Kreises 2 / 1.1.2 Geometrische Definitionen von x 8 / 1.1.3 Historisches zum Wert von x 16 / 1.2 Approximation von x mit regelmäßigen Vielecken 22 / 1.2.1 Historische Mittelwertbildung 22 / 1.2.2 Approximation über den Umfang nach Archimedes 27 / 1.2.3 Isoperimetrische Approximation nach Ren6 Descartes 34 / 1.2.4 Approximation über die Fläche nach Franciscus Vieta 37 / 1.3 Quadratur des Kreises 41 / 1.3.1 Rektifizierung des Kreises mit der Quadratrix des Hippias 46 / 1.3.2 Rektifizierung des Kreises mit der archimedischen Spirale 50 / 1.4 x in der Trigonometrie 52 / 1.4.1 Winkelbegriff und Winkelmaß 53 / 1.4.2 Sinus und Kosinus am rechtwinkligen Dreieck 56 / 1.4.3 Sinus und Kosinus für beliebige Winkel 59 / 1.4.4 Trigonometrische Funktionen 61 // 2 Die imaginäre Einheit i 71 / 2.1 Zahlbereichserweiterungen 71 / 2.2 Einführung der komplexen Zahlen 77 / 2.3 Gaußsche Zahlenebene 83 / 2.4 Potenzieren und Wurzelziehen 88 / 2.5 Fundamentalsatz der Algebra 96 // 3 Die Basis e 103 / 3.1 Erweiterung des Potenzbegriffs 104 / 3.2 Exponentielles Wachstum 110 // 3.2.1 Charakterisierung durch das Additionstheorem 111 / 3.2.2 Charakterisierung durch eine Differentialgleichung 117 / 3.3 e-Funktion 123 / 3.3.1 Approximation des Funktionsgraphen 124 / 3.3.2 Von Polynomen zur Potenzreihe 126 / 3.3.3 Natürlicher Logarithmus 130 / 3.4 Rückblick und Ausblick 132 // 4 Das Finale 135 / 4.1 Eulersche Formel 136 / 4.2 Nochmal Potenzen 143 / 4.2.1 Komplexe e-Funktion 145 / 4.2.2 Erweiterung des Potenzbegriffs 148 / 4.3 Faszinierende pi-Formeln 153 / 4.4 n und Kettenbrüche 161 / 4.5 e und pi in der Welt der reellen Zahlen 167 / 4.5.1 Rationale und irrationale Zahlen 167 / 4.5.2 Algebraische und transzendente Zahlen 170 / 4.5.3 Stufen der Unendlichkeit 173 // 5 Anhang: Grundlagen aus der Elementarmathematik 179 / 5.1 Elementares aus der Geometrie 179 / 5.1.1 Winkelsätze 179 / 5.1.2 Kongruenz 181 / 5.1.3 Strahlensätze und Ähnlichkeit 183 / 5.1.4 Satzgruppe des Pythagoras 186 / 5.2 Elementares aus Arithmetik und Algebra 188 / 5.2.1 Rechenregeln 188 / 5.2.2 Binomische Formeln 189 / 5.2.3 Polynomdivision 189 / 5.3 Elementares aus der Analysis 191 / 5.3.1 Folgen und Konvergenz 191 / 5.3.2 Funktionen 194 / 5.3.3 Stetigkeit 196 / 5.3.4 Differenzierbarkeit 198 // Literatur 203 // Stichwortverzeichnis 205